《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例5 一学生接连参加同一课程的两次考试,第一次及格的概率为$p$;当第一次及格时,第二次及格的概率也为$p$;当第一次不及格时,第二次及格的概率为$\frac{p}{2}$.若已知他第二次及格,则他第一次也及格的概率是.

答案： $\frac{2p}{1 + p}$

例6 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的,根据以往的记录有以下的数据:
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的,且无可区别的标志.
(1)在仓库中随机地取出一只元件,求它是次品的概率;
(2)在仓库中随机地取出一只元件,若已知取到的是次品,为了分析这只次品出自何厂,试求这只次品由三家工厂生产的概率分别是多少.

答案： 设$A=$“取到的一只元件是次品”，$B_i=$“所取到的一只元件是由$i$厂提供的”$(i=1,2,3)$。
(1)由题意可知：
$P(B_1)=0.15$，$P(B_2)=0.80$，$P(B_3)=0.05$。
$P(A|B_1)=0.02$，$P(A|B_2)=0.01$，$P(A|B_3)=0.03$。
由全概率公式：
$P(A)=P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+P(B_3)P(A|B_3)$
$=0.15×0.02+0.80×0.01+0.05×0.03$
$=0.0125$
所以，在仓库中随机取出一只元件是次品的概率为$0.0125$。
(2)由贝叶斯公式：
$P(B_1|A)=\frac{P(B_1)P(A|B_1)}{P(A)}=\frac{0.15×0.02}{0.0125}=0.24$
$P(B_2|A)=\frac{P(B_2)P(A|B_2)}{P(A)}=\frac{0.80×0.01}{0.0125}=0.64$
$P(B_3|A)=\frac{P(B_3)P(A|B_3)}{P(A)}=\frac{0.05×0.03}{0.0125}=0.12$
所以，在已知取到的是次品的情况下，这只次品由第一家工厂生产的概率为$0.24$，由第二家工厂生产的概率为$0.64$，由第三家工厂生产的概率为$0.12$。

3-1 [2025·深圳高二检测]8支步枪中有5支已经校准过,3支未校准,一名射手用校准过的步枪射击时,中靶的概率为0.8,用未校准的步枪射击时,中靶的概率为0.3.现从8支步枪中任取1支射击,结果中靶,则所选用的步枪校准过的的概率为(B)

A.$\frac{49}{80}$
B.$\frac{40}{49}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{6}{25}$

答案： 3-1 B 解析：设$A=$“从$8$支步枪中任选一支射击时中靶”，$B_1=$“使用的步枪校准过”，$B_2=$“使用的步枪未校准”，则$P(B_1)=\frac{5}{8}$，$P(B_2)=\frac{3}{8}$，$P(A|B_1)=0.8$，$P(A|B_2)=0.3$。
根据全概率公式得$P(A)=P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)=\frac{5}{8}×0.8+\frac{3}{8}×0.3=\frac{49}{80}$，
所以由贝叶斯公式得$P(B_1|A)=\frac{P(B_1)P(A|B_1)}{P(A)}=\frac{\frac{5}{8}×0.8}{\frac{49}{80}}=\frac{40}{49}$
故选B。

3-2 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知,三个厂产品的正品率分别为0.95,0.90,0.80,三个厂供应的产品数所占比例为$2:3:5$,将三个厂的产品混合放在一起.
(1)从中任取一件,求此产品为正品的概率.
(2)现取到一件产品为正品,问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性最大?

答案： 3-2 解：设$A=$“取到的一件产品为正品”，$B_1$，$B_2$，$B_3$分别表示取到的产品由甲、乙、丙厂生产.
由题意知$P(B_1)=0.2$，$P(B_2)=0.3$，$P(B_3)=0.5$，$P(A|B_1)=0.95$，$P(A|B_2)=0.90$，$P(A|B_3)=0.80$。
(1)由全概率公式得$P(A)=\sum_{i=1}^{3}P(B_i)P(A|B_i)=0.2×0.95+0.3×0.90+0.5×0.80=0.86$。
(2)由贝叶斯公式得$P(B_1|A)=\frac{P(B_1)P(A|B_1)}{P(A)}=\frac{0.2×0.95}{0.86}\approx0.2209$，
$P(B_2|A)=\frac{P(B_2)P(A|B_2)}{P(A)}=\frac{0.3×0.90}{0.86}\approx0.3140$，
$P(B_3|A)=\frac{P(B_3)P(A|B_3)}{P(A)}=\frac{0.5×0.80}{0.86}\approx0.4651$。
由以上结果可知这件产品由丙厂生产的可能性最大。