《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

✑ 例 4 某农科所对冬季昼夜温差(最高温度与最低温度的差)大小与某反季节大豆新品种一天内发芽数之间的关系进行了分析研究，他们分别记录了 12 月 1 日到 12 月 6 日每天昼夜最高、最低的温度以及实验室每天每 100 颗种子中的发芽数情况，得到图 8-1-2.

(1)请在图 8-1-3 中画出发芽数$y$与温差$x$的散点图；
(2)判断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并刻画它们的相关程度.
当$|r|＞0.75$时，具有较强的相关关系.
参考数据：$\sum_{i=1}^{6}x_i=75$，$\sum_{i=1}^{6}y_i=162$，
$\sum_{i=1}^{6}x_iy_i=2051$，$\sqrt{\sum_{i=1}^{6}x_i^2 - 6\bar{x}^2} \approx 4.2$，
$\sqrt{\sum_{i=1}^{6}y_i^2 - 6\bar{y}^2} \approx 6.5$.

答案：
解
(1) 散点图如图 8-1-4 所示.
(2)$r = \frac{\sum_{i=1}^{6}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{6}(x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{6}(y_i - \bar{y})^2}}$ $= \frac{\sum_{i=1}^{6}x_iy_i - 6\bar{x}\bar{y}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{6}x_i^2 - 6\bar{x}^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{6}y_i^2 - 6\bar{y}^2}}$ $= \frac{2051 - 6 × \frac{75}{6} × \frac{162}{6}}{4.2 × 6.5} \approx 0.952$. 由样本相关系数$r \approx 0.952＞0.75$，可以推断发芽数与温差正相关，且线性相关程度较强.

2-1 [多选题] 对两组数据进行统计后得到的散点图如图，关于其样本相关系数的结论正确的有(AC)


A.$r_1＜0$
B.$r_2＞1$
C.$r_1 + r_2＞0$
D.$|r_1|＞|r_2|$

答案： AC 解析：由散点图可知，题图①表示y与x负相关，故 -1＜r₁＜0，故A正确；题图②表示y与x正相关，故0＜r₂＜1，故B错误；因为样本相关系数r₂的点较样本相关系数r₁的点密集，故|r₂|＞|r₁|，故r₁+r₂＞0，故C正确，D错误.

2-2 已知$r_1$表示变量$X$与$Y$之间的样本相关系数，$r_2$表示变量$U$与$V$之间的样本相关系数，且$r_1 = 0.837$，$r_2 = -0.957$，则(C)

A.变量$X$与$Y$正相关，且$X$与$Y$之间的相关程度强于$U$与$V$之间的相关程度
B.变量$X$与$Y$负相关，且$X$与$Y$之间的相关程度强于$U$与$V$之间的相关程度
C.变量$U$与$V$负相关，且$X$与$Y$之间的相关程度弱于$U$与$V$之间的相关程度
D.变量$U$与$V$正相关，且$X$与$Y$之间的相关程度弱于$U$与$V$之间的相关程度

答案： C 解析：因为r₁ = 0.837＞0，r₂ = -0.957＜0，所以变量X与Y正相关，变量U与V负相关.因为|r₁|＜|r₂|，所以X与Y之间的相关程度弱于U与V之间的相关程度.

2-3 某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第$x$年与年销量$y$(单位：万件)之间的关系如表：

在图中画出表中数据的散点图，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并估计它们的相关程度.

当$|r|＞0.75$时，具有较强的相关关系.

答案：
解：作出散点图如图D - 8 - 1所示.由散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，由此推断x与y线性相关.

由题表中数据，得$\bar{x}=\frac{5}{2}$，$\bar{y}=\frac{69}{2}$，$\sum_{i = 1}^{4}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})=(1-\frac{5}{2})×(12-\frac{69}{2})+(2-\frac{5}{2})×(28-\frac{69}{2})+(3-\frac{5}{2})×(42-\frac{69}{2})+(4-\frac{5}{2})×(56-\frac{69}{2})=73$，$\sum_{i = 1}^{4}(x_{i}-\bar{x})^{2}=(1-\frac{5}{2})^{2}+(2-\frac{5}{2})^{2}+(3-\frac{5}{2})^{2}+(4-\frac{5}{2})^{2}=5$，$\sum_{i = 1}^{4}(y_{i}-\bar{y})^{2}=1067$，所以$r=\frac{\sum_{i = 1}^{4}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{4}(x_{i}-\bar{x})^{2}}\sqrt{\sum_{i = 1}^{4}(y_{i}-\bar{y})^{2}}}=\frac{73}{\sqrt{5}×\sqrt{1067}}\approx0.9994$.因为样本相关系数r≈0.9994＞0.75，所以可以推断该公司的年销量y与第x年呈正线性相关，且线性相关程度很强.