《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例 15 有甲、乙、丙三项任务，甲需$2$人承担，乙、丙各需$1$人承担，从$10$人中选出$4$人承担这三项任务，不同的选法种数是()
A.$1260$
B.$2025$
C.$2520$
D.$5040$

答案： C

2 - 1 有乒乓球运动员$9$人，其中有$4$名男运动员，$5$名女运动员，现从中选$4$人进行男女混合双打比赛，那么配对情况有120种。

答案： 2-1 120 解析：因为选4人参加男女混合双打比赛，所以男、女运动员各2名.
第一步，从4名男运动员中选2人，有$C_4^2$种方法；
第二步，从5名女运动员中选2人，有$C_5^2$种方法；
第三步，将选出的2男2女进行1男1女的配对，有$A_2^2$种方法.
所以配对情况共有$C_4^2C_5^2A_2^2 = 120$种.

例 1 [2023·新课标Ⅰ卷] 某学校开设了$4$门体育类选修课和$4$门艺术类选修课，学生需从这$8$门课中选修$2$门或$3$门课，并且每类选修课至少选修$1$门，则不同的选课方案共有种(用数字作答)。

答案： 64

例 2 [2023·新课标Ⅱ卷] 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取$60$名学生，已知该校初中部和高中部分别有$400$名和$200$名学生，则不同的抽样结果共有()


A.$C_{400}^{45}· C_{200}^{15}$种
B.$C_{400}^{20}· C_{200}^{40}$种
C.$C_{400}^{30}· C_{200}^{30}$种
D.$C_{400}^{40}· C_{200}^{20}$种

答案： D

例 3 [2022·新高考Ⅰ卷] 从$2$至$8$的$7$个整数中随机取$2$个不同的数，则这$2$个数互质的概率为()
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： D

1 - 1 [新高考Ⅰ卷]$6$名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去$1$个场馆，甲场馆安排$1$名，乙场馆安排$2$名，丙场馆安排$3$名，则不同的安排方法共有(C)

A.$120$种
B.$90$种
C.$60$种
D.$30$种

答案： 高考考点对接
1-1 C 解析：先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有$C_6^1$种选法，
再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆，有$C_5^2$种选法，
最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有$C_3^3$种选法，
由分步乘法计数原理知，共有$C_6^1 · C_5^2 · C_3^3 = 60$种不同的安排方法.

2 - 1 [2023·全国甲卷] 某校文艺部有$4$名学生，其中高一、高二年级各$2$名。从这$4$名学生中随机选$2$名组织校文艺汇演，则这$2$名学生来自不同年级的概率为(D)

A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： 1-2 D 解析：从4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的情况数为$C_4^2 = 6$，
其中这2名学生来自不同年级的情况数为$C_2^1C_2^1 = 4$，
所以这2名学生来自不同年级的概率$P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$，故选D.

2 - 2 [2022·全国乙卷] 从甲、乙等$5$名同学中随机选$3$名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为$\frac{3}{10}$。

答案： 2-2 $\frac{3}{10}$ 解析：从甲、乙等5名同学中随机选3名，有$C_5^3$种情况，其中甲、乙都入选有$C_3^1$种情况，
所以甲、乙都入选的概率$P = \frac{C_3^1}{C_5^3} = \frac{3}{10}$。