《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

[奎国I卷]一批产品需要进行质量检验，检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4 件检验，若都为优质品，则这批产品通过检验;如果n =4,再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验;其他情况下，这批产品都不能通过检验
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为$\frac{1}{2}$,且各件产品是否为优质品相互独立.
(1)求这批产品通过检验的概率;
(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.

答案：
(1)$\frac{3}{64}$；
(2)分布列见解析，数学期望$506.25$元。

解(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事
件A,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,
第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次
取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检
验为事件A,依题意有A=((A,B,)U(A,B2),且A,1B,与
AB互斥,
所以P(A)=P(AB)+P(AB2)
=P(A1)P(B,|A,)+P((A)P((B21A2)
=$\frac{4}{16}$×$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{16}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{64}$.
(2)X可能的取值为400,500,800,并且P(X=400)
=1−$\frac{4}{16}$−$\frac{1}{16}$=$\frac{11}{16}$,P(X=500)=$\frac{1}{16}$,P(X=800)
=$\frac{1}{4}$,
所以X的分布列为

X 400 500 800
P $\frac{11}{16}$ $\frac{1}{16}$ $\frac{1}{4}$
E(X)=400×$\frac{11}{16}$+500×$\frac{1}{16}$+800×$\frac{1}{4}$=506.25.

答案： 2.解：
(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含$A_{1}$但不包含$B_{1}$的事件为$M$，
则$P(M) = \frac{C_{8}^{4}}{C_{10}^{5}} = \frac{5}{18}$。
(2)由题意知$X$可取的值为0,1,2,3,4，
则$P(X = 0) = \frac{C_{6}^{5}}{C_{10}^{5}} = \frac{1}{42}$，
$P(X = 1) = \frac{C_{6}^{4}C_{4}^{1}}{C_{10}^{5}} = \frac{5}{21}$，
$P(X = 2) = \frac{C_{6}^{3}C_{4}^{2}}{C_{10}^{5}} = \frac{10}{21}$，
$P(X = 3) = \frac{C_{6}^{2}C_{4}^{3}}{C_{10}^{5}} = \frac{5}{21}$，
$P(X = 4) = \frac{C_{6}^{1}C_{4}^{4}}{C_{10}^{5}} = \frac{1}{42}$。
因此$X$的分布列为
$X$ 0 1 2 3 4
$P$ $\frac{1}{42}$ $\frac{5}{21}$ $\frac{10}{21}$ $\frac{5}{21}$ $\frac{1}{42}$
数学期望$E(X) = 0 + 1 × \frac{5}{21} + 2 × \frac{10}{21} + 3 × \frac{5}{21} + 4 × \frac{1}{42} = 2$。

价[山东卷心在心对研的中，，,采用对比试下的方评
试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，
另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿耆接
受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现
有6名男志愿者A1,A2,A3,A44,As,46和4名女志愿者
B,B2,B3,B,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，
另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A但不包含
B,的概率;
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X
的分布列与数学期望E(X).
京 一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药,一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成图7−6−5,其中“”表示服药耆，“+”表示未服药者.
(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y 的值小于60的概率;
(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记S为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求的分布列和数学期望E();
(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)

答案： 2.解：
(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含$A_{1}$但不包含$B_{1}$的事件为$M$，
则$P(M) = \frac{C_{8}^{4}}{C_{10}^{5}} = \frac{5}{18}$。
(2)由题意知$X$可取的值为0,1,2,3,4，
则$P(X = 0) = \frac{C_{6}^{5}}{C_{10}^{5}} = \frac{1}{42}$，
$P(X = 1) = \frac{C_{6}^{4}C_{4}^{1}}{C_{10}^{5}} = \frac{5}{21}$，
$P(X = 2) = \frac{C_{6}^{3}C_{4}^{2}}{C_{10}^{5}} = \frac{10}{21}$，
$P(X = 3) = \frac{C_{6}^{2}C_{4}^{3}}{C_{10}^{5}} = \frac{5}{21}$，
$P(X = 4) = \frac{C_{6}^{1}C_{4}^{4}}{C_{10}^{5}} = \frac{1}{42}$。
因此$X$的分布列为
$X$ 0 1 2 3 4
$P$ $\frac{1}{42}$ $\frac{5}{21}$ $\frac{10}{21}$ $\frac{5}{21}$ $\frac{1}{42}$
数学期望$E(X) = 0 + 1 × \frac{5}{21} + 2 × \frac{10}{21} + 3 × \frac{5}{21} + 4 × \frac{1}{42} = 2$。
3.解：
(1)由题图知，在服药的50名患者中，指标$y$的值小于60的有15人，
所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标$y$的值小于60的概率为$\frac{15}{50} = 0.3$。
(2)由题图可知，A，B，C，D四人中，指标$x$的值大于1.7的有2人：A和C，
所以$\xi$的所有可能取值为0,1,2.
$P(\xi = 0) = \frac{C_{2}^{2}}{C_{4}^{2}} = \frac{1}{6}$，
$P(\xi = 1) = \frac{C_{2}^{1}C_{2}^{1}}{C_{4}^{2}} = \frac{2}{3}$，
$P(\xi = 2) = \frac{C_{2}^{2}}{C_{4}^{2}} = \frac{1}{6}$，
所以$\xi$的分布列为
$\xi$ 0 1 2
$P$ $\frac{1}{6}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{1}{6}$
故$\xi$的期望$E(\xi) = 0 × \frac{1}{6} + 1 × \frac{2}{3} + 2 × \frac{1}{6} = 1$。
(3)在这100名患者中，服药者指标$y$数据的方差大于未服药者指标$y$数据的方差.