《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

[多选题]甲、乙、丙三人相互做传球训练, 第一次由甲将球传出, 每次传球时, 传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人, 则()

A.2 次传球后球在甲手上的概率是 $\frac{1}{2}$
B.3 次传球后球在乙手上的概率是 $\frac{1}{3}$
C.4 次传球后球在甲手上的概率是 $\frac{3}{8}$
D.2025 次传球后球在甲手上的概率小于 $\frac{1}{3}$

答案： ACD 解析：对于A,第一次由甲将球传出,2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共有4个结果，且它们等可能,其中2次传球后球在甲手上的事件有：甲乙甲，甲丙甲，有2个结果，所以2次传球后球在甲手上的概率为$\frac{1}{2}，$A正确.
对于B,3次传球后的所有结果为：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，且它们等可能,其中3次传球后球在乙手上的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，有3个结果，所以3次传球后球在乙手上的概率是$\frac{3}{8}，$B不正确.
对于C,D,记n次传球后球在甲手上的事件为A_n，则有$A_{n + 1} = A A_{n + 1} + \overline{A} A_{n + 1}，$令p_n = P(A_n)，则$P(A_{n + 1}$|A_n) = 0，$P(A_{n + 1}$|$\overline{A}_n) = \frac{1}{2}，$
所以$P(A_{n + 1}) = P(A_n)P(A_{n + 1}$|$A_n) + P(\overline{A}_n)P(A_{n + 1}$|$\overline{A}_n) = p_n · 0 + \frac{1}{2}(1 - p_n)，$即$p_{n + 1} = \frac{1}{2}(1 - p_n)，$
则$p_{n + 1} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{2}(p_n - \frac{1}{3})，$
因为第一次由甲传球后，球不可能在甲手上，所以$p_1 = 0，$则$p_1 - \frac{1}{3} = - \frac{1}{3}，$
所以数列$\{p_n - \frac{1}{3}\}$是以$ - \frac{1}{3}$为首项，以$ - \frac{1}{2}$为公比的等比数列，
所以$p_n - \frac{1}{3} = - \frac{1}{3} · (-\frac{1}{2})^{n - 1}，$
即$p_n = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} · (-\frac{1}{2})^{n - 1} = \frac{1}{3}[1 - (-\frac{1}{2})^{n - 1}]，$
当n = 4时，$p_4 = \frac{1}{3}[1 - (-\frac{1}{2})^{3}] = \frac{3}{8}，$
C正确.
当n = 2025时，$P_{2025} = \frac{1}{3}[1 - (-\frac{1}{2})^{2025 - 1}] ＜ \frac{1}{3}，$D正确.
故选ACD.

2 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型, 也是机器学习和人工智能的基石, 在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用. 其数学定义为: 假设我们的序列状态是 $·s, X_{2}, X_{1}, X$, $X_{t+1}, ·s$, 那么 $X_{t+1}$ 时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态 $X_{t}$, 即 $P\left(X_{t+1} ·s, X_{t-2}, X_{t-1}, X\right)=P\left(X_{t+1} \mid X\right)$.
现实生活中也存在着许多马尔科夫链, 例如著名的赌徒模型.
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏, 每一局赌徒赌赢的概率为 50\%, 且每局赌赢可以赢得 1 元, 每一局赌徒赌输的概率为 50\%, 且赌输就要输掉 1 元. 赌徒会一直玩下去, 直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏: 一种是手中赌金为 0 元, 即赌徒输光; 一种是赌金达到预期的 $B$ 元, 赌徒停止赌博. 记赌徒的本金为 $A\left(A \in \mathbf{N}^{*}, A＜B\right)$ 元, 赌博过程如图 1 的数轴所示.
当赌徒手中有 $n(0 \leqslant n \leqslant B, n \in \mathbf{N})$ 时, 最终输光的概率为 $P(n)$, 请回答下列问题:
(1) 请直接写出 $P(0)$ 与 $P(B)$ 的数值.
(2) 证明 $\{P(n)\}$ 是一个等差数列, 并写出公差 $d$.
(3) 当 $A=100$ 时, 分别计算 $B=200, B=1000$ 时, $P(A)$ 的数值, 并结合实际, 解释当 $B \rightarrow \infty$ 时, $P(A)$ 的统计含义.

答案：
(1)解：P
(0) = 1,P(B) = 0.
(2)证明：记M是事件“赌徒有n元最后输光”，N是事件“赌徒有n元下一场赢”.
P(M) = P(N)P(M|$N) + P(\overline{N})P(M$|$\overline{N})，$即$P(n) = \frac{1}{2}P(n - 1) + \frac{1}{2}P(n + 1)，$
所以P(n) - P(n - 1) = P(n + 1) - P(n)，
所以\{P(n)\}是一个等差数列.
设P(n) - P(n - 1) = d，则P(n - 1) - P(n - 2) = d，·s，P
(1) - P
(0) = d，累加得P(n) - P
(0) = nd，故P(B) - P
(0) = Bd，得$d = - \frac{1}{B}.$
(3)解：由P(n) - P
(0) = nd得P(A) - P
(0) = Ad，即$P(A) = 1 - \frac{A}{B}，$
当B = 200时，P(A) = 50\%，
当B = 1000时，P(A) = 90\%，
当$B \to + \infty，$$P(A) \to 1，$因此可知久赌无赢家，即使是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会有100\%的概率输光.