《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

18.(17分)基础学科招生改革试点，也称强基计划,是教育
部开展的招生改革工作,主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2025年有3500名学生报考某试点高校，若报考该试点高校的学生的笔试成绩~N(μ,100),且P(≤50)=P(≥70).笔试成绩高于70分的学生进入面试环节.
(1)从报考该试点高校的学生中随机抽取10人,求这10 人中至少有一人进人面试的概率，
(2)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$.设这4名学生中通过面试的人数为X,求随机变量X的分布列和均值.
(附:若~N(μ,o²),则P(1−μ|≤σ)≈0.6827,
P(|−μ|≤2σ)≈0.9545,0.8413510≈0.1777,
0.9772510≈0.7944)

答案： 18.解：
(1)因为$P(\xi \leq 50) = P(\xi \geq 70)$，
所以$\mu = \frac{50 + 70}{2} = 60$。
设“至少有一名学生进入面试”为事件$A$，
因为$\mu = 60,\sigma = 10$，
所以$P(\xi \leq 70) = \frac{1 + P(|\xi - \mu| \leq \sigma)}{2} \approx \frac{1 + 0.6827}{2} = 0.84135$，
所以$P(A) \approx 1 - 0.84135^{10} \approx 1 - 0.1777 = 0.8223$，故10人中至少有一人进入面试的概率约为0.8223。
(2)$X$的可能取值为0,1,2,3,4。
$P(X = 0) = (1 - \frac{1}{3})^{2} × (1 - \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{9}$，
$P(X = 1) = C_{2}^{1} × \frac{1}{3} × (1 - \frac{1}{3}) × (1 - \frac{1}{2})^{2} + (1 - \frac{1}{3})^{2} × C_{2}^{1} × \frac{1}{2} × (1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{3}$，
$P(X = 2) = (\frac{1}{3})^{2} × (1 - \frac{1}{2})^{2} + C_{2}^{1} × \frac{1}{3} × (1 - \frac{1}{3}) × C_{2}^{1} × \frac{1}{2} × (1 - \frac{1}{2}) + (1 - \frac{1}{3})^{2} × (\frac{1}{2})^{2} = \frac{13}{36}$，
$P(X = 3) = (\frac{1}{3})^{2} × C_{2}^{1} × \frac{1}{2} × (1 - \frac{1}{2}) + C_{2}^{1} × \frac{1}{3} × (1 - \frac{1}{3}) × (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{6}$，
$P(X = 4) = (\frac{1}{3})^{2} × (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{36}$，
$X$的分布列为
$X$ 0 1 2 3 4
$P$ $\frac{1}{9}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{13}{36}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{36}$
所以$E(X) = 0 × \frac{1}{9} + 1 × \frac{1}{3} + 2 × \frac{13}{36} + 3 × \frac{1}{6} + 4 × \frac{1}{36} = \frac{5}{3}$。

19.(17分)某超市“十一”国庆节举行有奖促销活动,凡10
月1日当天消费不低于400元，均可抽奖一次，奖箱里
有6个除颜色外完全相同的小、球(其中红球有3个,白球
有3个),抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种
方案.
方案一:从抽奖箱中一次性摸出2个球，若摸出2个红
球,则打6折,若摸出1个红球,则打8折;若没摸出红球，
则不打折.
方案二:从抽奖箱中有放回地每次摸取1个球,连摸2
次，每摸到1次红球，立减100元.
(1)若甲、乙两顾客均消费了400元,且均选择抽奖方案
一,试求他们其中有一人享受6折优惠的概率.
(2)若顾客丙消费恰好满600元，试比较说明该顾客选择
哪种方案更划算.

答案： 19.解：
(1)由题意，设“顾客享受到6折优惠”为事件$A$，则$P(A) = \frac{C_{3}^{2}}{C_{6}^{3}} = \frac{1}{5}$，
所以甲、乙两人其中有一人享受6折优惠的概率为$p = C_{2}^{1} · P(A) · [1 - P(A)] = 2 × \frac{1}{5} × (1 - \frac{1}{5}) = \frac{8}{25}$。
(2)若丙选择方案一，设付款金额为$X$元，则$X$可能的取值为360,480,600.
则$P(X = 360) = \frac{C_{3}^{2}}{C_{6}^{3}} = \frac{1}{5}$，
$P(X = 480) = \frac{C_{3}^{1}C_{3}^{2}}{C_{6}^{3}} = \frac{3}{5}$，
$P(X = 600) = \frac{C_{3}^{3}}{C_{6}^{3}} = \frac{1}{5}$。
故$X$的分布列为
$X$ 360 480 600
$P$ $\frac{1}{5}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{1}{5}$
所以$E(X) = 360 × \frac{1}{5} + 480 × \frac{3}{5} + 600 × \frac{1}{5} = 480$(元)。
若丙选择方案二，设摸到红球的次数为$Y$，付款金额为$Z$元，则$Z = 600 - 100Y$。
由已知，可得$Y \sim B(2,\frac{1}{2})$，
故$E(Y) = 2 × \frac{1}{2} = 1$，
所以$E(Z) = E(600 - 100Y) = 600 - 100E(Y) = 600 - 100 = 500$(元)。
因为$E(X) ＜ E(Z)$，故丙选择方案一更划算.