《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

1 已知分布列求均值
例1 若随机变量$X$的分布列为

则$E(X)=($ )

A.0.6
B.0.9
C.1
D.1.2

答案： D

2 求实际问题中离散型随机变量的均值
例2 [2025·山东临沂高二检测]端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个.
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设$X$表示取到豆沙粽的个数，求$X$的分布列与均值.

答案：
(1)令$A$表示事件“三种粽子各取到1个”，则$P(A)=\frac{C_{2}^{1}C_{3}^{1}C_{5}^{1}}{C_{10}^{3}}=\frac{2×3×5}{120}=\frac{30}{120}=\frac{1}{4}$。
(2)$X$的所有可能取值为0,1,2。
$P(X = 0)=\frac{C_{8}^{3}}{C_{10}^{3}}=\frac{56}{120}=\frac{7}{15}$，
$P(X = 1)=\frac{C_{2}^{1}C_{8}^{2}}{C_{10}^{3}}=\frac{2×28}{120}=\frac{56}{120}=\frac{7}{15}$，
$P(X = 2)=\frac{C_{2}^{2}C_{8}^{1}}{C_{10}^{3}}=\frac{1×8}{120}=\frac{8}{120}=\frac{1}{15}$。
$X$的分布列为：
| $X$ | 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- | --- |
| $P$ | $\frac{7}{15}$ | $\frac{7}{15}$ | $\frac{1}{15}$ |
$E(X)=0×\frac{7}{15}+1×\frac{7}{15}+2×\frac{1}{15}=\frac{7 + 2}{15}=\frac{9}{15}=0.6$。

例3 已知随机变量$X$的分布列为
$X$ -2 -1 0 1 2
$P$ $\frac14$ $\frac13$ $\frac15$ $m$ $\frac{1}{20}$
若$Y = 2X - 3$，则$E(Y)=$$-\frac{62}{15}$.

答案： $-\frac{62}{15}$　　

1-1 若离散型随机变量$X$的分布列为

则$X$的均值$E(X)$等于(C)
A.2
B.2或$\frac54$
C.$\frac54$
D.1

答案： 1-1 C 解析：由分布列的性质知，
$\frac{a}{4}+\frac{a^{2}}{4}+\frac{1}{2}=1，$解得a=1或a=-2
（舍去）。
所以$E(X)=0×\frac{1}{4}+1×\frac{1}{4}+2×\frac{1}{2}=\frac{5}{4}。$

1-2 “四书”是《大学》《中庸》《论语》
《孟子》的合称，在中华思想史上产生了
深远影响.为弘扬中华优秀传统文化，某
校计划开展“四书”诵读比赛活动，某班有4名同学参赛，每人从《大学》《中
庸》《论语》《孟子》这4本书中选取
1本进行准备，且各自选取的书均不相
同.比赛时，若这4名同学从这4本书
中不放回地随机抽取1本选择其中的内
容诵读，则抽到自己准备的书的学生人
数的均值为(B)
A.$\frac12$
B.1
C.$\frac23$
D.2

答案： 1-2 B 解析：记抽到自己准备的书的学生人数为X，则X所有可能的取值为
0,1,2,4，则$P(X=0)=\frac{C_{3}^{1}×3}{A_{4}^{4}}=\frac{3}{8}，$
$P(X=1)=\frac{C_{4}^{1}×2}{A_{4}^{4}}=\frac{1}{3}，$
$P(X=2)=\frac{C_{4}^{2}×1}{A_{4}^{4}}=\frac{1}{4}，$
$P(X=4)=\frac{1}{A_{4}^{4}}=\frac{1}{24}，$
所以X的分布列为
X 0 1 2 4
$P \frac{3}{8} \frac{1}{3} \frac{1}{4} \frac{1}{24}$
则$E(X)=0×\frac{3}{8}+1×\frac{1}{3}+2×\frac{1}{4}+4×\frac{1}{24}=1。$