《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

1 二项式系数最大问题
例1 在$\left( \sqrt { x } - \frac { 1 } { 2 } x \right) ^ { n }$的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中$x^5$的系数为()

A.-7
B.$ - \frac { 3 5 } { 8 }$
C.$ \frac { 3 5 } { 8 }$
D.7

答案： D

2 展开式系数最大问题
例2 已知$\left( \frac { 1 } { 4 } + 2 x \right) ^ { n }$的展开式前三项的二项式系数和为37.
(1)求展开式中二项式系数最大项的系数；
(2)求展开式中系数最大的项.

答案：
(1)由$\left( \frac{1}{4} + 2x \right)^n$的展开式前三项的二项式系数的和等于37，即$\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} = 37$，解得$n = 8$，即二项式为$\left( \frac{1}{4} + 2x \right)^8$，所以展开式中第5项的二项式系数最大，因此由$T_5 = \binom{8}{4} · \left( \frac{1}{4} \right)^4 · (2x)^4$，$= \frac{35}{8}x^4$，可知此项的系数为$\frac{35}{8}$。
(2)设二项展开式的第$r + 1$项的系数最大，则$\begin{cases} \binom{8}{r} \left( \frac{1}{4} \right)^{8 - r} · 2^r \geqslant \binom{8}{r - 1} \left( \frac{1}{4} \right)^{9 - r} · 2^{r - 1} \\ \binom{8}{r} \left( \frac{1}{4} \right)^{8 - r} · 2^r \geqslant \binom{8}{r + 1} \left( \frac{1}{4} \right)^{7 - r} · 2^{r + 1} \end{cases}$，解得$7 \leqslant r \leqslant 8$。又$r \in \mathbf{N}$，所以展开式中系数最大的项为第8项和第9项，即$T_8 = \binom{8}{7} \left( \frac{1}{4} \right) · (2x)^7 = 256x^7$，$T_9 = \binom{8}{8} (2x)^8 = 256x^8$。

3 二项式系数的对称性与增减性的综合应用
例3 在$\left( \sqrt { x } - \frac { 2 } { x ^ { 2 } } \right)$的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等.
(1)系数绝对值最大的项是第几项？
(2)求二项式系数最大的项.
(3)求系数最大的项.

答案：
(1)设第$k+1$项系数绝对值最大，系数绝对值为$C_8^k 2^k$。由$\begin{cases}C_8^k 2^k \geq C_8^{k-1} 2^{k-1} \\ C_8^k 2^k \geq C_8^{k+1} 2^{k+1}\end{cases}$，解得$5\leq k\leq6$，故系数绝对值最大的项是第6项和第7项。
(2)$n=8$为偶数，二项式系数最大的项为中间项，即第5项。$T_5=C_8^4(\sqrt{x})^{4}(-\frac{2}{x^2})^4=70x^2·\frac{16}{x^8}=1120x^{-6}$。
(3)系数为$(-1)^kC_8^k2^k$，k为偶数时系数为正。计算k=0,2,4,6,8时系数：k=0时1；k=2时112；k=4时1120；k=6时1792；k=8时256。最大系数为1792，对应第7项，$T_7=C_8^6(\sqrt{x})^{2}(-\frac{2}{x^2})^6=28x·\frac{64}{x^{12}}=1792x^{-11}$。
(1)第6项和第7项；
(2)$1120x^{-6}$；
(3)$1792x^{-11}$

1-1 在$( x - 1 ) ^ { n }$的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，则$n = ($C$)$

A.8
B.9
C.10
D.11

答案： 1-1 C 解析：因为在$(x - 1)^n$的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，即$C_n^5$最大，所以$n = 10$。

1-2 在$( 1 - x ) ^ { 2 n - 1 }$的展开式中，二项式系数最大的项是(D)

A.第$n-1$项
B.第$n$项
C.第$n-1$项与第$n+1$项
D.第$n$项与第$n+1$项

答案： 1-2 D 解析：因为$2n-1$为奇数，所以中间的两项的二项式系数最大，为$C_{2n - 1}^{\frac{2n - 1 - 1}{2}} = C_{2n - 1}^{n - 1}$，$C_{2n - 1}^{\frac{2n - 1 + 1}{2}} = C_{2n - 1}^n$，分别为第$n$项与第$n + 1$项的二项式系数。

1-3 $( 1 + 2 x ) ^ { 2 0 2 4 }$的展开式中，系数最大的项是第1350和1351项.

答案： 1-3 1350和1351 解析：$(1 + 2x)^{2024}$展开式的通项为$T_{k + 1} = C_{2024}^k2^kx^k$，
假设第$k + 1$项系数最大，
则有$\begin{cases}C_{2024}^k2^k\geq C_{2024}^{k - 1}2^{k - 1},\\C_{2024}^k2^k\geq C_{2024}^{k + 1}2^{k + 1}.\end{cases}$
解得$1349\leq k\leq1350$。
因为$k\in N$，
所以$k = 1349$或$1350$，
则$k + 1 = 1350$或$1351$，
即系数最大的是第1350和1351项。

1-4 若$( 2 + a x ) ^ { n } ( a \neq 0 )$的展开式的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则$a$的取值范围为[2,3].

答案： 1-4 [2,3] 解析：由于$(2 + ax)^n(a\neq0)$的展开式的二项式系数之和为512，
所以$2^n = 512$，$n = 9$，
即$(2 + ax)^9(a\neq0)$，
展开式的通项为$T_{k + 1} = C_9^k·2^{9 - k}·(ax)^k = a^k·2^{9 - k}· C_9^k· x^k$，
依题意可知$\begin{cases}a^5·2^{9 - 5}· C_9^5\geq a^4·2^{9 - 4}· C_9^4,\\a^5·2^{9 - 5}· C_9^5\geq a^6·2^{9 - 6}· C_9^6.\end{cases}\Rightarrow2\leq a\leq3$。