《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例 8 某外语组有$9$人，每人至少会英语和日语中的一门，其中$7$人会英语，$3$人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？

答案： 20

2 - 4 在创建全国文明城市的活动中，某校从$4$名男教师和$5$名女教师中选取$3$人组成创文明志愿者小组，若男、女教师至少各有一人，则不同的选法共有(C)

A.$140$种
B.$84$种
C.$70$种
D.$35$种

答案： 2-4 C 解析：(方法1 直接法)按选取男教师的人数分两类.
第一类，从9名教师中选1名男教师、2名女教师，共有$C_4^1 · C_5^2$种选法；
第二类，从9名教师中选2名男教师、1名女教师，共有$C_4^2 · C_5^1$种选法.
根据分类加法计数原理，不同选法种数为$C_4^1 · C_5^2 + C_4^2 · C_5^1 = 70$。
(方法2 间接法)从4名男教师和5名女教师中，选取3人，共有$C_9^3$种情况.
若全为男教师，有$C_4^3$种情况；
若全为女教师，有$C_5^3$种情况.
所以男、女教师至少各有一人的不同的选法种数为$C_9^3 - C_4^3 - C_5^3 = 70$。

2 - 5 某食堂一窗口供应$2$荤$3$素共$5$种菜，甲、乙两人每人在该窗口打$2$种菜，且每人至打$1$种荤菜，则两人打菜方法的种数为(B)

A.$64$
B.$81$
C.$36$
D.$100$

答案： 2-5 B 解析：甲打一荤一素时有$C_2^1C_3^1 = 6$种打法；
甲打两素时有$C_3^2 = 3$种打法，
故甲共有$6 + 3 = 9$种打法.
同理乙也有9种打法，
则两人打菜方法的种数为$9 × 9 = 81$。

2 - 6 某学校需要从$3$名男生和$2$名女生中选出$4$人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派$2$人，且至少有$1$名是女生；乙社区和丙社区各需要选派$1$人。则不同的选派方法的种数是(D)

A.$18$
B.$24$
C.$36$
D.$42$

答案： 2-6 D 解析：由题设可分两类，
一是甲社区只含有一名女生，先考虑甲社区有$C_2^1C_3^1$种情形，后考虑乙、丙两社区，有$A_3^2$种情形，共有$C_2^1C_3^1A_3^2 = 36$种情形；
二是甲社区含有两名女生，则甲社区有$C_2^2$种情形，乙、丙社区有$A_3^2$种情形，共有$C_2^2A_3^2 = 6$种情形.
由分类加法计数原理可得共有$36 + 6 = 42$种情形.

2 - 7 某车间有$11$名工人，其中$5$名钳工，$4$名车工，另外$2$名既能当车工又能当钳工，现在要从这$11$名工人中选$4$名钳工，$4$名车工修理一台机床，则共有多少种不同的选法？

答案： 2-7 解：分三类：
第一类，选出的4名钳工中无“多面手”，
此时选法有$C_4^4 = 75$种；
第二类，选出的4名钳工中有1名“多面手”，此时选法为$C_2^1C_4^3C_4^1 = 100$种；
第三类，选出的4名钳工中有2名“多面手”，此时选法为$C_2^2C_4^2 = 10$种.
由分类加法计数原理得，共有$75 + 100 + 10 = 185$种不同的选法.