《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

1.[2025·太原高二检测]若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是$\frac{1}{2}$，则在$5$次测量中恰好出现$2$次正误差的概率是(A)

A.$\frac{5}{16}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{5}{8}$
D.$\frac{1}{32}$

答案： A 解析$P=C_{5}^{2} × \left(\frac{1}{2}\right)^{2} × \left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{5}{16}$.

2. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成. 其中有一种起卦方法称为“金钱卦”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻. 若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，则称为动爻. 若每一枚钱币正面向上的概率为$\frac{1}{2}$，则一卦中恰有三个动爻的概率为(C)

A.$\frac{5}{16}$
B.$\frac{15}{64}$
C.$\frac{135}{1024}$
D.$\frac{1215}{4096}$

答案： C 解析一个爻为动爻的概率为$2 × \left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{4}$,不是动爻的概率为$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$,则一卦中恰有三个动爻的概率为$C_{6}^{3} × \left(\frac{1}{4}\right)^{3} × \left(\frac{3}{4}\right)=\frac{135}{1024}$.

3. 已知离散型随机变量$X$服从二项分布$B(n,p)$，且$E(X)=4$，$D(X)=q$，则$\frac{1}{p} + \frac{1}{q}$的最小值为(C)

A.$2$
B.$9$
C.$\frac{9}{4}$
D.$4$

答案： C 解析因为$E(X)=np = 4$,$D(X)=np(1-p)=q$,所以$4(1-p)=q$,即$4p+q = 4$.又$p＞0,q＞0$,所以$\frac{1}{p} + \frac{1}{q}=\frac{1}{4}(4p + q)\left(\frac{1}{p} + \frac{1}{q}\right)=\frac{1}{4}\left(5 + \frac{4p}{q} + \frac{q}{p}\right) \geqslant \frac{1}{4}\left(5 + 2\sqrt{\frac{4p}{q} · \frac{q}{p}}\right)=\frac{9}{4}$,当且仅当$\frac{4p}{q}=\frac{q}{p}$,即$2p = q$时取等号,所以$\frac{1}{p} + \frac{1}{q}$的最小值为$\frac{9}{4}$.

4. 设随机变量$Y$服从二项分布$B(4,\frac{1}{2})$，则函数$f(x)=x^2 -4x + 4Y$无零点的概率是(A)

A.$\frac{11}{16}$
B.$\frac{5}{16}$
C.$\frac{31}{32}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： A 解析若函数$f(x)=x^{2}-4x + 4Y$无零点,则$\Delta=(-4)^{2}-4 × 1 × 4Y＜0$,解得$Y＞1$,所以$P(Y＞1)=P(Y = 2)+P(Y = 3)+P(Y = 4)=C_{2}^{2} × \left(\frac{1}{2}\right)^{2} × \left(\frac{1}{2}\right)^{0} · C_{4}^{1} \left(\frac{1}{2}\right)^{1} × \left(\frac{1}{2}\right)^{3}+C_{4}^{4} × \left(\frac{1}{2}\right)^{4} × \left(\frac{1}{2}\right)^{0}=\frac{11}{16}$.

5.[多选题]为了防止受到污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售. 已知某产品第一轮检测不合格的概率为$\frac{1}{4}$，第二轮检测不合格的概率为$\frac{1}{9}$，两轮检测是否合格相互没有影响. 若产品可以销售，则每件产品获利$40$元；若产品不能销售，则每件产品亏损$80$元. 已知一箱中有$4$件产品，记一箱产品获利$X$元，则下列说法正确的有(ABD)

A.该产品能销售的概率为$\frac{2}{3}$
B.若$Y$表示一箱产品中可以销售的件数，则$Y \sim B(4,\frac{2}{3})$
C.若$Y$表示一箱产品中可以销售的件数，则$P(Y=3)=\frac{8}{81}$
D.$P(X = -80)=\frac{8}{27}$

答案： ABD 解析对于A,该产品能销售的概率为$\left(1 - \frac{1}{4}\right) × \left(1 - \frac{1}{9}\right)=\frac{2}{3}$,故A正确;
对于B,由A可得每件产品能销售的概率为$\frac{2}{3}$,一箱中有$4$件产品,$Y$表示一箱产品中可以销售的件数,则$Y \sim B\left(4,\frac{2}{3}\right)$,故B正确;
对于C,由题意,$P(Y = 3)=C_{4}^{3} × \left(\frac{2}{3}\right)^{3} × \frac{1}{3}=\frac{32}{81}$,故C不正确;
对于D,由题意,$X = - 80$,即$4$件产品中有$2$件能销售,有$2$件不能销售,所以$P(X = - 80)=C_{4}^{2} × \left(\frac{2}{3}\right)^{2} × \left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{8}{27}$,故D正确.

6.[多选题]一次数学测验由$25$个选择题构成，每个选择题有$4$个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每题答案选择正确得$4$分，不选或选错不得分，满分$100$分，某学生选对任一题的概率为$0.6$，则(ABC)

A.该学生在这次数学测验中选对答案的题目个数的均值为$15$
B.该学生在这次数学测验中选对答案的题目个数的方差为$6$
C.该学生在这次测验中的成绩的均值为$60$
D.该学生在这次测验中的成绩的方差为$24$

答案： ABC 解析设选对答案的题目个数为$X$,则$X \sim B(25,0.6)$,所以$E(X)=25 × 0.6 = 15$,故A正确;$D(X)=25 × 0.6 × (1 - 0.6)=6$,故B正确;设得分为$Y$,则$Y = 4X$,则$E(Y)=4E(X)=60$,故C正确;$D(Y)=4^{2}D(X)=16 × 6 = 96$,故D错误.

7.[2025·河北衡水高二检测]已知随机变量$X,Y$满足$X \sim B(3,p)$，$Y = 2X + 1$，且$P(X \leq 2)=\frac{19}{27}$，则$E(Y)=$(B)

A.$\frac{8}{3}$
B.$5$
C.$8$
D.$4$

答案： B 解析因为$X \sim B(3,p)$,且$P(X \leqslant 2)=\frac{19}{27}$,所以$P(X \leqslant 2)=1 - P(X = 3)=1 - C_{3}^{3}p^{3}=\frac{19}{27}$,整理得$p^{3}=\frac{8}{27}$,解得$p=\frac{2}{3}$.所以$E(X)=np = 3 × \frac{2}{3}=2$.又因为$Y = 2X + 1$,所以$E(Y)=E(2X + 1)=2E(X)+1 = 5$.

8. 2024年是我国改革开放的第46年，改革开放以来，我国发生了翻天覆地的变化，居民消费水平也得到了大幅提升. 调查得到某市居民周末消费金额(单位：元)的频率分布直方图如图7-4-1所示.
(1)求该市居民周末人均消费金额(每组数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)以频率估计概率，从该市居民中随机选取$3$人进行周末消费习惯调查，这$3$人中周末消费金额在$[300,500)$的人数记为$X$，求$X$的分布列与数学期望.
]

答案： 解
(1)由题可得$(0.0020 + 0.0025 + 0.0030 + 2a + 0.0005) × 100 = 1$,解得$a = 0.0010$,所以估计该市居民周末人均消费金额为$100 × (50 × 0.0010 + 150 × 0.0020 + 250 × 0.0025 + 350 × 0.0030 + 450 × 0.0010 + 550 × 0.0005)=275$(元).
(2)由频率分布直方图可知,在该市随机选取一人,该人周末消费金额在$[300,500)$的概率为$0.0030 × 100 + 0.0010 × 100 = 0.4$.易知$X$的所有可能取值为$0,1,2,3$,且$X \sim B(3,0.4)$,即$P(X = 0)=(1 - 0.4)^{3}=0.216$,$P(X = 1)=C_{3}^{1} × 0.4 × (1 - 0.4)^{2}=0.432$,$P(X = 2)=C_{3}^{2} × 0.4^{2} × (1 - 0.4)=0.288$,$P(X = 3)=0.4^{3}=0.064$,则$X$的分布列为
$X$ $0$ $1$ $2$ $3$
$P$ $0.216$ $0.432$ $0.288$ $0.064$
故$E(X)=0 × 0.216 + 1 × 0.432 + 2 × 0.288 + 3 × 0.064 = 1.2$或$E(X)=3 × 0.4 = 1.2$.