《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

9. 下列结论正确的是(D)

A.已知随机变量$X \sim B(n, p)$,若$E(X) = 30$,$D(X) = 10$,则$p = \frac { 1 } { 3 }$
B.从一批含有 10 件正品、4 件次品的产品中任取 3 件，则取得 2 件次品的概率为$\frac { 4 5 } { 9 1 }$
C.若随机变量$X$服从二项分布$X \sim B ( 5 , \frac { 1 } { 3 } )$,则$P ( \frac { 3 } { 2 } \leq X \leq \frac { 7 } { 2 } ) = \frac { 8 0 } { 8 1 }$
D.10 件产品中有 3 件次品，从中抽出 2 件，抽出次品件数的期望为 0.6

答案： 9.D 解析：对于A，由$E(X)=np=30$，$D(X)=np(1-p)=30(1-p)=10$，解得$p=\frac{2}{3}$，故A错误.
对于B，设$X$表示取得的次品件数，则$X$服从超几何分布，$P(X=2)=\frac{C_{4}^{2}C_{10}^{1}}{C_{14}^{3}}=\frac{15}{91}$，故B错误.
对于C，若$X\sim B(5,\frac{1}{3})$，则$P(\frac{3}{2}\leq X\leq\frac{7}{2})=P(X=2)+P(X=3)=C_{5}^{2}×(\frac{1}{3})^2×(1-\frac{1}{3})+C_{5}^{3}×(\frac{1}{3})^3×(1-\frac{1}{3})^2=\frac{40}{81}$，
故C错误.
对于D，设$X$表示抽出的次品件数，则$X$服从超几何分布，$E(X)=\frac{nM}{N}=\frac{2×3}{10}=0.6$，故D正确.

10. [多选题]已知 10 件产品中存在次品，从中抽取 2 件，记次品件数为$\xi$,$P(\xi = 1) = \frac { 1 6 } { 4 5 }$,$P(\xi = 2) = \frac { 1 } { 4 5 }$,则下列说法正确的有(ACD)

A.10 件产品的次品率为 20%
B.次品件数为 3
C.$E(\xi) = 0.4$
D.$D(\xi) = \frac { 6 4 } { 2 2 5$$}$

答案： 10.ACD 解析：设10件产品中存在$n$件次品，则$\begin{cases}P(\xi=1)=\frac{C_{n}^{1}C_{10-n}^{0}}{C_{10}^{1}}=\frac{16}{45},\\P(\xi=2)=\frac{1}{45}=\frac{C_{n}^{2}C_{10-n}^{0}}{C_{10}^{2}}\end{cases}\Rightarrow$
$n=2$，
则次品件数为2，B错误；
10件产品的次品率为$\frac{2}{10}×100\%=20\%$，A正确；
$\xi$服从超几何分布，且$N=10$，$M=2$，$n=2$，$\xi$的可能取值为0,1,2，$P(\xi=0)=1-P(\xi=1)-P(\xi=2)=1-\frac{1}{6}-\frac{1}{45}=\frac{28}{45}$，则$E(\xi)=0×\frac{28}{45}+1×\frac{16}{45}+2×\frac{1}{45}=0.4$（或$E(\xi)=\frac{2×2}{10}=0.4$），
C正确；
$D(\xi)=(0-0.4)^2×\frac{28}{45}+(1-0.4)^2×\frac{16}{45}+(2-0.4)^2×\frac{1}{45}=\frac{64}{225}$（或$D(\xi)=2×\frac{2}{10}×(1-\frac{2}{10})×\frac{10-2}{10-1}=\frac{64}{225}$），D正确.

11. [2025·山东枣庄高二检测][多选题]袋中有 10 个质地、大小相同的球，其中 6 个黑球、4 个白球，现从中任取 4 个球，记随机变量$X$为其中白球的个数，随机变量$Y$为其中黑球的个数，若取出一个白球得 2 分，取出一个黑球得 1 分，随机变量$Z$为取出 4 个球的总得分，则下列结论中正确的是(ACD)

A.$P ( | Z - 6 | \leq 1 ) = \frac { 9 7 } { 1 0 5 }$
B.$E(X) ＞ E(Y)$
C.$D(X) = D(Y)$
D.$E(Z) = \frac { 2 8 } { 5 }$

答案： 11.ACD 解析：由题意知$X$，$Y$均服从超几何分布，且$X+Y=4$，$Z=2X+Y$，
故$P(X=k)=\frac{C_{6}^{k}C_{4}^{4-k}}{C_{10}^{4}}(k=0,1,2,3,4)$，
从而$P(|Z-6|\leq1)=1-P(Z=4)-P(Z=8)=1-P(X=0)-P(X=4)=\frac{97}{105}$，故A正确；
$E(X)=4×\frac{4}{10}=\frac{8}{5}$，$E(Y)=4-E(X)=\frac{12}{5}$，$D(X)=D(4-Y)=D(Y)$，故B错误，C正确；
$E(Z)=2E(X)+E(Y)=\frac{28}{5}$，故D正确.

12. [2025·武汉高二检测]50 个质地、大小相同的小球中只有 2 个红球，今从中任取$n$个，为了使这$n$个球中至少有 1 个红球的概率大于 0.5，$n$至少为15.

答案： 12.15 解析：用$X$表示$n$个球中红球的个数，由$P(X\geq1)=\frac{C_{2}^{1}C_{48}^{n-1}}{C_{50}^{n}}+\frac{C_{2}^{2}C_{48}^{n-2}}{C_{50}^{n}}＞0.5$
得$\frac{2·\frac{(n-1)!(49-n)!}{50!}+\frac{n(n-1)(50-n)!}{50!(50-n)!}}{\frac{n!(50-n)!}{50!}}＞\frac{1}{2}$，
即$\frac{2n(50-n)+n(n-1)}{50×49}＞\frac{1}{2}$，
解得$\frac{99-13\sqrt{29}}{2}＜n＜\frac{99+13\sqrt{29}}{2}$，
又$n\in N^*$，$n\leq50$，
所以$15\leq n\leq50$，$n\in N^*$，
所以$n$至少为15.

13. 现有 4 个红球和 4 个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中 4 个球. 甲盒子中有 2 个红球和 2 个黄球的概率为18/35；甲盒子中有 3 个红球和 1 个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出$i ( i = 1 , 2 , 3 )$个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为$X$,$X$的数学期望为$E$${ i } ( X )$,则$E$${ 1 } ( X ) + E$${ 3 } ( X ) =$4.

答案： 13.$\frac{18}{35}$4 解析：由题可知，甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率$p=\frac{C_{2}^{2}C_{2}^{2}}{C_{8}^{4}}=\frac{18}{35}$；
当$i=1$时，$X$的取值可能是2,3,4，
且$P(X=2)=\frac{C_{3}^{1}C_{3}^{1}}{C_{4}^{1}C_{4}^{1}}=\frac{9}{16}$，
$P(X=3)=\frac{2C_{3}^{1}C_{3}^{1}}{C_{4}^{1}C_{4}^{1}}=\frac{3}{8}$，
$P(X=4)=\frac{C_{3}^{1}C_{3}^{0}}{C_{4}^{1}C_{4}^{1}}=\frac{1}{16}$，
则$E_1(X)=2×\frac{9}{16}+3×\frac{3}{8}+4×\frac{1}{16}=\frac{5}{2}$
当$i=3$时，$X$的取值可能是0,1,2，
且$P(X=0)=\frac{C_{3}^{3}C_{3}^{3}}{C_{4}^{3}C_{4}^{3}}=\frac{1}{16}$，
$P(X=1)=\frac{2C_{3}^{2}C_{3}^{3}}{C_{4}^{3}C_{4}^{3}}=\frac{3}{8}$，
$P(X=2)=\frac{C_{3}^{2}C_{3}^{2}}{C_{4}^{3}C_{4}^{3}}=\frac{9}{16}$，
则$E_3(X)=0×\frac{1}{16}+1×\frac{3}{8}+2×\frac{9}{16}=\frac{3}{2}$
故$E_1(X)+E_3(X)=4$.

14. 某校高二年级举行知识竞赛，其中 1 班、2 班、3 班、4 班报名人数如下：

该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取 10 名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的 10 个题目中随机抽取 4 个作答，至少答对 3 个的同学获得一份奖品. 假设每位同学的作答情况相互独立.
(1)求各班参加竞赛的人数；
(2)2 班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的 10 个题目中恰有 3 个答不对，记他答对的题目个数为$X$,求$X$的分布列及数学期望；
(3)若 1 班每位参加竞赛的同学答对每个题目的概率均为$\frac { 1 } { 3 }$,求 1 班参加竞赛的同学中至少有 1 位同学获得奖品的概率.

答案： 14.解：
(1)各班报名总人数为100，抽取10人，抽样比为$\frac{1}{10}$，故1~4班分别抽取$20×\frac{1}{10}=2(人)$，$10×\frac{1}{10}=1(人)$.
(2)由题意，$X$服从超几何分布，$X$的可能取值为1,2,3,4，
$P(X=1)=\frac{C_{7}^{1}C_{3}^{3}}{C_{10}^{4}}=\frac{7}{210}=\frac{1}{30}$，
$P(X=2)=\frac{C_{7}^{2}C_{3}^{2}}{C_{10}^{4}}=\frac{21×3}{210}=\frac{3}{10}$，
$P(X=3)=\frac{C_{7}^{3}C_{3}^{1}}{C_{10}^{4}}=\frac{35×3}{210}=\frac{1}{2}$，
$P(X=4)=\frac{C_{7}^{4}C_{3}^{0}}{C_{10}^{4}}=\frac{35}{210}=\frac{1}{6}$，
$X$的分布列为
$\begin{matrix}X&1&2&3&4\\P&\frac{1}{30}&\frac{3}{10}&\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}$
$E(X)=1×\frac{1}{30}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{1}{2}+4×\frac{1}{6}=\frac{14}{5}=2.8$（或$E(X)=\frac{4×7}{10}=2.8$）
(3)由题意，1班每位同学获奖的概率为$p=C_{3}^{3}×(\frac{1}{3})^3×\frac{2}{3}+C_{4}^{3}×(\frac{1}{3})^3×(1-\frac{1}{3})=\frac{8}{81}+\frac{1}{81}=\frac{1}{9}$.
设1班获奖人数为$Y$，则$Y\sim B(3,\frac{1}{9})$，
所以至少有1位同学获得奖品的概率为$1-P(Y=0)=1-C_{3}^{0}×(1-\frac{1}{9})^3×(\frac{1}{9})^0=\frac{217}{729}$.