《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例 9 用 4 种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻面不同色，共有72种涂法。

答案： 72
解：第一步，涂底面，有4种涂法；
第二步，涂侧面A，有3种涂法（与底面不同色）；
第三步，涂侧面B，有2种涂法（与底面、A不同色）；
第四步，涂侧面C和D：
若C与A同色，D有2种涂法（与底面、C不同色）；
若C与A不同色，D有1种涂法（与底面、C、A不同色）；
故侧面C和D共有2+1=3种涂法；
综上，总涂法数为4×3×2×3=72。

5−1 从红、黄、蓝三种颜色中选出若干种颜色，给如图所示的四个相连的正方形染色，若每种颜色只能涂一个正方形或两个正方形，且相邻两个正方形所涂颜色不能相同,则不同的涂色方案的种数是( )


A.12
B.18
C.24
D.36

答案： 5−1　C　解析:将题图的正方形从左到右依次标号1,2,3,4.
若使用2种颜色，则颜色的取法有3种，
故正方形1,3颜色相同,2,4颜色相同，有2种涂法,共有3×2=6种方案.
若使用3种颜色，则颜色的取法有1种，
故四个正方形中有两个不相邻的正方形必须同色,即1,3颜色相同，或者1，4颜色相同，或者2,4颜色相同，有3种方案;
然后先涂相同色，再涂其余2个，
共有3×2×1=6种涂法.
故共有1×3×6=18种方案.
综上，符合要求的不同涂色方案有6+18=24种.

5−2如图是某校的主要设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色.若有6种不同的颜色可选，则不同的着色方案有( )


A.960种
B.480种
C.240种
D.150种

答案： 5−2　B解析:教学区可从6种颜色中任选1种着色;
　　　　　操场可从剩下的5种颜色中任选1种着色;
　　　　　宿舍区和操场、教学区颜色都不能相同，故可从剩下的4种颜色中任选1种着色;
　　　　　其他区域和宿舍区、教学区的颜色都不能相同，故可从剩下的4种颜色中任选1种着色.
　　　　　根据分步乘法计数原理，得共有6×5×4×4=480种着色方案.
　　　　

5−3埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图，现将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法种数为( ) 


A.180
B.240
C.420
D.480

答案： 5−3C