《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例 6 近年来，各地着力打造“美丽乡村”，彩色田野成为美丽乡村的特色风景。某乡村设计一块类似于赵爽弦图的巨型创意农田(如图 6 - 1 - 5 所示)，计划从黄、白、紫、黑、绿五种颜色的农作物中选择几种种在图中区域，并且每个区域只种一种颜色的农作物，相邻区域所种的农作物颜色不同，则共有420种不同的种法。(用数字作答)

答案： 420

例 7 用 0，1，2，3，4 五个数字。
(1) 可以排成多少个三位数字的行李箱密码？
(2) 可以排成多少个三位数？
(3) 可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数？

答案：
(1) 125个。
(2) 100个。
(3) 30个。

例 8 如图 6 - 1 - 6，用 5 种不同颜色的颜料给 $A$，$B$，$C$，$D$ 四部分涂色，要求共边的两部分颜色互异，有多少种不同的涂色方法？

答案： 260种不同的涂色方法。

3−2 已知从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2,3,3,4条，若要从其中一面上山,从剩余三面中的任意一面下山,则不同的走法最多时应( )
A.从东面上山
B.从西面上山
C.从南面上山
D.从北面上山

答案： 3−2　D　解析:从东面上山,不同的走法共有2×(3+3+4)=20种;
　从西面上山,不同的走法共有
　3×(2+3+4)=27种;
　从南面上山，不同的走法共有
　3×(2+3+4)=27种;
　从北面上山，不同的走法共有
　4×(2+3+3)=32种.
　所以不同的走法最多时，应从北面上山.

3−3 有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中任取多面体和旋转体各1个，则不同取法的种数是( )
A.14
B.23
C.48
D.120

答案： 3−3C　解析:分两步:
　第1步，取多面体，分两类，可以从5个不同的棱柱或3个不同的棱锥中取一个，根据分类加法计数原理有5+3=8 种不同的取法;
第2步，取旋转体，分两类，可以从不同的圆台或2个不同的球中取一个，
　根据分类加法计数原理有4+2=6种不同的取法.
　所以根据分步乘法计数原理知不同的取法种数是8×6=48,

4−1 用0,1,2,3,4,5可以组成多少个:
(1)无重复数字且能被5整除的四位数？
(2)无重复数字且比2000大的自然数？

答案： 4−1　解:
(1)能被5整除则个位数字为0或5,分为两类:
　第一类，个位数字为0时，由分步乘法计数原理可得满足条件的四位数有5×4×3=60个;
　第二类，个位数字为5时，由于0不能在千位上，由分步乘法计数原理可得满足条件的四位数有4×4×3=48个.
　所以由分类加法计数原理知，一共有60+48=108个,
(2)完成这件事可分为三类:
　第一类是比2000大的无重复数字的四位数，可以分四步完成:
　第一步，选取千位上的数字，只有2,3,4,5可以选择，有4种选法;
　第二步，选取百位上的数字，除千位上已选定的数字以外，还有5个数字可以选择，有5种选法;
　第三步，选取十位上的数字，有4种选法;
　第四步，选取个位上的数字，有3种选法.
　由分步乘法计数原理知，比2000大的
　无重复数字的四位数的个数为4×5×4×3=240.
　第二类是无重复数字的五位数，共有5×5×4×3×2=600个.
　第三类是无重复数字的六位数，共有5×5×4×3×2×1=600个.
　由分类加法计数原理得，所求无重复数字且比2000大的自然数有240+600+600=1440个.