《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例3设0＜a＜1,a+b=2,随机变量X的分布列如下表,则
当a在(0,1)内增大时,D(X)()


A.增大
B.减小
C.先增大后减小
D.先减小后增大

答案： B

分析根据“当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的
概率为$\frac{8}{27}$”,求得每局比赛甲胜的概率p,然后利用二项分布求解.
解析 因为当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为$\frac{8}{27}$,且每局比赛甲胜的概率为p,乙胜的概率为1−p,所以C².p².(1−p).p=$\frac{8}{27}$,解得p=$\frac{2}{3}$.
结合题意可知,甲胜的局数X−B[77,$\frac{2}{3}$
则E(X)=7×$\frac{2}{3}$=$\frac{14}{3}$.
答案$\frac{14}{3}$

答案： $\frac{14}{3}$

例5 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制
作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格
后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立.根
据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、
丙三件工艺品合格的概率依次为0.5,0.6,0.4,经过第
二次烧制后，甲、乙、丙三件工艺品合格的概率依次为
0.6,0.5,0.75.
(1)求第一次烧制后恰有一件工艺品合格的概率;
(2)经过前后两次烧制后，记合格工艺品的件数为X,
求随机变量X的分布列及数学期望.

答案：
(1) 第一次烧制后恰有一件工艺品合格的概率为：
$P = 0.5 × (1 - 0.6) × (1 - 0.4) + (1 - 0.5) × 0.6 × (1 - 0.4) + (1 - 0.5) × (1 - 0.6) × 0.4 = 0.38$
(2) 经过前后两次烧制后，甲、乙、丙三件工艺品合格的概率分别为：
$p_1 = 0.5 × 0.6 = 0.3$，
$p_2 = 0.6 × 0.5 = 0.3$，
$p_3 = 0.4 × 0.75 = 0.3$，
所以，每件工艺品合格的概率 $p = 0.3$。
随机变量 $X$ 的可能取值为 $0, 1, 2, 3$，且 $X \sim B(3, 0.3)$。
$P(X = 0) = (1 - 0.3)^3 = 0.343$，
$P(X = 1) = C_3^1 × 0.3 × (1 - 0.3)^2 = 0.441$，
$P(X = 2) = C_3^2 × 0.3^2 × (1 - 0.3) = 0.189$，
$P(X = 3) = 0.3^3 = 0.027$，
所以随机变量 $X$ 的分布列为：
| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $P$ | 0.343 | 0.441 | 0.189 | 0.027 |
随机变量 $X$ 的数学期望为：
$E(X) = 0 × 0.343 + 1 × 0.441 + 2 × 0.189 + 3 × 0.027 = 0.9$，
（或者利用二项分布的期望公式直接得到 $E(X) = 3 × 0.3 = 0.9$）。