《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

1. 已知$C_{n + 1}^{6} - C_{n}^{6} = C_{n}^{7}(n \in N^{*})$，则$n =$(B)

A.11
B.12
C.13
D.14

答案： 1.B 解析：因为$C_{n+1}^{6}-C_{n}^{6}=C_{n}^{7}$，所以$C_{n+1}^{6}=C_{n}^{7}+C_{n}^{6}$，根据组合数性质$C_{n}^{m}+C_{n}^{m-1}=C_{n+1}^{m}$，可得$C_{n+1}^{6}=C_{n+1}^{7}$，所以$n+1=6+7$，$n=12$.

2. [多选题]下列式子正确的有(BC)

A.$C_{n}^{m} = \frac{m + 1}{n + 1}C_{n + 1}^{m + 1}$
B.$(n + 1)C_{n}^{m} = (m + 1)C_{n + 1}^{m + 1}$
C.$mC_{n}^{m} = nC_{n - 1}^{m - 1}$
D.$nC_{n}^{k} = C_{n}^{k + 1} + kC_{n}^{k}$

答案： 2.BC 解析：$\frac{m+1}{n+1}C_{n}^{m}=\frac{m+1}{n+1}·\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{m+1}{n-m+1}·\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{m+1}{n-m+1}C_{n}^{m}\neqC_{n}^{m}$，A 错误. $(n+1)C_{n}^{m}=\frac{(n+1)· n!}{m!(n-m)!}=\frac{(n+1)!}{m!(n-m)!}=\frac{(m+1)(n+1)!}{(m+1)![(n+1)-(m+1)]!}=(m+1)C_{n+1}^{m+1}$，B 正确； $mC_{n}^{m}=\frac{m· n!}{m!(n-m)!}=\frac{n·(n-1)!}{(m-1)![(n-1)-(m-1)]!}=nC_{n-1}^{m-1}$，C 正确. $C_{n}^{k+1}+kC_{n}^{k}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}+kC_{n}^{k}=\frac{(n-k)n!}{(k+1)k!(n-k)!}+kC_{n}^{k}=\frac{n-k}{k+1}C_{n}^{k}+kC_{n}^{k}\neq nC_{n}^{k}$，D 错误.

3. 某年级要从$3$名男生、$2$名女生中选派$2$人参加某次社区服务，如果要求至少有$1$名女生，那么不同的选派方案有(B)

A.6种
B.7种
C.8种
D.9种

答案： 3.B 解析：可按女生人数分类：若选派 1 名女生，有$C_{2}^{1}·C_{3}^{1}=2×3=6$种；若选派 2 名女生，则有$C_{2}^{2}=1$种. 根据分类加法计数原理，共有$6+1=7$种不同的选派方案.

4. [2025·青岛高二检测]中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊$5$名航天员开展实验，其中天和核心舱安排$3$人，问天实验舱与梦天实验舱各安排$1$人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有(B)

A.8种
B.14种
C.20种
D.116种

答案： 4.B 解析：按照甲是否在天和核心舱分类：①若甲在天和核心舱，则天和核心舱需要从除了甲、乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，有$C_{3}^{2}·A_{2}^{2}=6$种安排方案；②若甲不在天和核心舱，则需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，有$C_{2}^{1}·C_{4}^{3}=8$种安排方案. 根据分类加法计数原理，共有$6+8=14$种安排方案.

5. 一个学习小组有$7$名同学，其中$3$名男生，$4$名女生.从这个小组中任意选出$3$名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为(A)

A.$\frac{6}{7}$
B.$\frac{5}{7}$
C.$\frac{2}{7}$
D.$\frac{1}{7}$

答案： 5.A 解析：(方法 1 直接法)因为既有男生又有女生包含两种情况：①选出的同学为 1 名男生、2 名女生，选法有$C_{3}^{1}C_{4}^{2}=18$种；②选出的同学为 2 名男生、1 名女生，选法有$C_{3}^{2}C_{4}^{1}=12$种. 又总的选法有$C_{7}^{3}=35$种，故所求概率为$\frac{18+12}{35}=\frac{6}{7}$. (方法 2 间接法)从 7 人中选 3 人的方法数为$C_{7}^{3}=35$，只有男生的方法数为$C_{3}^{3}=1$，只有女生的方法数为$C_{4}^{3}=4$，故选出的同学中，既有男生又有女生的概率为$1-\frac{1+4}{35}=\frac{6}{7}$.

6. 某学校开设了$4$门体育类选修课和$4$门艺术类选修课，学生需从这$8$门课中选修$3$门，并且每类选修课至少选修$1$门，则不同的选课方案共有(B)

A.64种
B.48种
C.32种
D.16种

答案： 6.B 解析：从 8 门课中选修 3 门，①若选修体育类 1 门，则不同的选课方案共有$C_{4}^{1}C_{4}^{2}=24$种；②若选修体育类 2 门，则不同的选课方案共有$C_{4}^{2}C_{4}^{1}=24$种. 综上所述，不同的选课方案共有$24+24=48$种.

7. 有$10$个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙$3$人，若甲至少得$1$球，乙至少得$2$球，丙至少得$3$球，则他们所得的球数的不同情况有(A)种.

A.15
B.30
C.36
D.66

答案： 7.A 解析：(方法 1)首先分给甲 1 个球，乙 2 个球，丙 3 个球，还剩下 4 个球.①4 个球分给 1 个人，有 3 种分法.②4 个球分给 2 个人，又有两种情况，1 人 3 个、1 人 1 个，有$A_{2}^{2}=6$种分法；2 人都是 2 个，有 3 种分法.③4 个球分给 3 个人，只有 1,1,2 这种情况，有 3 种分法.按照分类加法计数原理可得，一共有$3+6+3+3=15$种情况. (方法 2)先给乙 1 个球，给丙 2 个球，则题目转化为：有 7 个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙 3 人，每人至少 1 个球，可将 7 个球排成一列，在排除两端的 6 个空位中，插入隔板即可，共有$C_{6}^{2}=15$种分法.

8. $6$名同学参加$4$项社会实践活动，要求每项活动至少$1$人，则不同的参加方式共有(B)

A.2640种
B.1560种
C.1080种
D.480种

答案： 8.B 解析：根据题意，分两步完成：第一步，将 6 人分成 4 组，若分为 1,1,1,3 的四组，有$C_{6}^{3}=20$种方法；若分为 1,1,2,2 的四组，有$\frac{C_{6}^{1}C_{5}^{1}C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{2}^{2}A_{2}^{2}}=45$种方法，共有$20+45=65$种分组方法；第二步，将分好的四组全排列，安排参加 4 项社会实践活动，有$A_{4}^{4}=24$种情况. 则共有$65×24=1560$种不同的参加方式.

9. [2025·南京高二检测]登山运动员$10$人，平均分为两组，其中熟悉道路的有$4$人，每组都需要$2$人，那么不同的分配方法种数是(B)

A.30
B.60
C.120
D.240

答案： 9.B 解析：先将 4 个熟悉道路的人平均分成两组，有$\frac{C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}$种，再将余下的 6 人平均分成两组，有$\frac{C_{6}^{3}C_{3}^{3}}{A_{2}^{2}}$种，然后自由搭配为平均的两组还有$A_{2}^{2}$种，故最终分配方法有$\frac{C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}×\frac{C_{6}^{3}C_{3}^{3}}{A_{2}^{2}}×A_{2}^{2}=60$种.

10. [多选题]下列说法正确的有(AD)

A.空间中有$8$个点，其中任何$4$个点不共面，过每$3$个点作一个平面，可以作$56$个平面
B.平面内有$10$条直线，它们最多有$90$个交点
C.以正方体的顶点为顶点的三棱锥有$70$个
D.平面内有两组平行线，一组有$5$条，另一组有$4$条，这两组平行线相交，可以构成$60$个平行四边形

答案： 10.AD 解析：对于 A，一个平面对应着从 8 个点中取出 3 个点的一个组合，故可以作$C_{8}^{3}=56$个不同的平面，故 A 正确；对于 B，每一条直线都可能与另外的 9 条直线相交，最多就有 9 个交点，但都重复了一次，所以最多共有$9×10÷2=45$个交点，故 B 不正确；对于 C，首先从 8 个顶点中选 4 个，共有$C_{8}^{4}$种结果，在这些结果中，有四点共面的情况，6 个表面有 6 种四点共面的情况，6 个对角面有 6 种四点共面的情况，所以满足条件的结果有$C_{8}^{4}-6-6=58$个，故 C 不正确；对于 D，先从第一组 5 条平行线中任选 2 条作为平行四边形的一组对边，有$C_{5}^{2}$种取法，再从另一组 4 条平行线中任选 2 条作为平行四边形的另一组对边，有$C_{4}^{2}$种取法，所以可以构成$C_{5}^{2}C_{4}^{2}=60$个平行四边形，故 D 正确.

11. 某医疗队有$6$名医生，其中只会外科的医生$1$名，只会内科的医生$3$名，既会外科又会内科的医生$2$名.现在要从该医疗队中抽取$3$名医生支援$3$个不同的村庄，每个村庄$1$人，要求$3$名医生中至少有一名会内科，至少有一名会外科，则共有114种派遣方法.

答案： 11.114 解析：6 名医生中有 2 名既会外科又会内科，1 名只会外科，3 名只会内科，以选出只会外科的人数进行分类：从只会外科的人中选 1 人，有$(C_{3}A_{3}^{3}- C_{3}^{3})A_{3}^{3}=54$种，所以共有 114 种派遣方法.

12. 将$7$个相同的小球放入$4$个不同的盒子中.不出现空盒时的放入方式共有20种；可出现空盒时的放入方式共有120种.

答案： 12.20 120 解析：不出现空盒时的放入方式，相当于将 7 个相同的小球排成一排，在中间形成的 6 个空中插入无区别的 3 个“隔板”将球分成 4 份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，共有$C_{6}^{3}=20$种不同的放入方式. 出现空盒的每种放入方式相当于将 7 个相同的小球与 3 个相同的“隔板”进行一次排列，即从 10 个位置中选 3 个位置安排隔板，故共有$C_{10}^{3}=120$种不同的放入方式.

13. 一组学生共有$7$人.
(1)如果从中选出$3$人参加一项活动，共有多少种选法？
(2)如果从中选出男生$2$人、女生$2$人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项活动且每项活动都有人参加的选法有$648$种，问该组学生中男、女生各有多少人？

答案： 13.解：
(1)由题意，所有不同的选法种数就是从 7 名学生中选出 3 人的组合数，所以选法共有$C_{7}^{3}=35$种.
(2)设有男生$x$人，则有女生$(7-x)$人，从这 7 人中选出男生 2 人、女生 2 人的方法有$C_{x}^{2}C_{7-x}^{2}$种，要求每人参加一项活动且每项活动都有人参加的选法有$C_{4}^{2}A_{3}^{3}$种，根据分步乘法计数原理得$C_{x}^{2}C_{7-x}^{2}C_{4}^{2}A_{3}^{3}=648$，整理得$x(x-1)(7-x)(6-x)=72(x\inN^*$且$2\leq x\leq5)$，解得$x=3$或$x=4$，所以该组学生中有男生 3 人、女生 4 人或男生 4 人、女生 3 人.

14. 从$8$名运动员中选$4$人参加$4 × 100m$接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？
(1)甲、乙两人必须入选且跑中间两棒；
(2)若甲、乙两人只有一人入选且不能跑中间两棒；
(3)若甲、乙两人都入选且必须跑相邻两棒；
(4)甲不在第一棒.

答案： 14.解：
(1)除甲、乙外还需选择 2 人参加接力赛有$C_{6}^{2}$种选法，而甲、乙跑中间两棒共有$A_{2}^{2}$种排法，另外 2 人跑另外两棒共有$A_{2}^{2}$种排法，所以甲、乙两人必须入选且跑中间两棒共有$C_{6}^{2}A_{2}^{2}A_{2}^{2}=60$种排法.
(2)甲、乙两人只有一人入选共有$C_{2}^{1}C_{6}^{3}$种选法，甲或乙不跑中间两棒共有$C_{2}^{1}$种排法，其余 3 人跑剩余三棒共有$A_{3}^{3}$种排法，所以甲、乙两人只有一人入选且不能跑中间两棒共有$C_{2}^{1}C_{6}^{3}C_{2}^{1}A_{3}^{3}=480$种排法.
(3)除甲、乙外还需选择 2 人参加接力赛共有$C_{6}^{2}$种选法，甲、乙跑相邻两棒，其余 2 人跑剩余两棒共有$A_{2}^{2}A_{3}^{3}$种排法，所以甲、乙两人都入选且必须跑相邻两棒共有$C_{6}^{2}A_{2}^{2}A_{3}^{3}=180$种排法.
(4)甲不在第一棒则需选择一人跑第一棒，共有$C_{6}^{1}$种选法，其余三棒共有$A_{3}^{3}$种排法，所以甲不在第一棒共有$C_{6}^{1}A_{3}^{3}=1470$种排法.