《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例1 从5名男生和3名女生中任选3人参加某活动.若随机变量$X$表示所选3人中女生的人数，求$X$的分布列及$P(X＜2)$.

答案： 随机变量$X$服从超几何分布，其中$N = 8$，$M = 3$，$n = 3$。
$P(X=0)=\frac{C_{3}^{0}C_{5}^{3}}{C_{8}^{3}}=\frac{1×10}{56}=\frac{5}{28}$
$P(X=1)=\frac{C_{3}^{1}C_{5}^{2}}{C_{8}^{3}}=\frac{3×10}{56}=\frac{15}{28}$
$P(X=2)=\frac{C_{3}^{2}C_{5}^{1}}{C_{8}^{3}}=\frac{3×5}{56}=\frac{15}{56}$
$P(X=3)=\frac{C_{3}^{3}C_{5}^{0}}{C_{8}^{3}}=\frac{1×1}{56}=\frac{1}{56}$
$X$的分布列为：
| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $P$ | $\frac{5}{28}$ | $\frac{15}{28}$ | $\frac{15}{56}$ | $\frac{1}{56}$ |
$P(X＜2)=P(X=0)+P(X=1)=\frac{5}{28}+\frac{15}{28}=\frac{20}{28}=\frac{5}{7}$

例2 某班同学利用寒假对$A$小区的居民进行了一次生活习惯是否符合低碳理念的调查，生活习惯符合低碳理念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两类人数各占$A$小区总人数的比例如下表所示：

在$A$小区中随机选择20人，设从中抽取的3人中“非低碳族”的人数为$X$，求$X$的分布列及均值.

答案： 解：在A小区随机选择的20人中，“非低碳族”人数为$20×\frac{1}{5}=4$人，“低碳族”人数为$20 - 4=16$人。
由题意，$X$服从超几何分布，其中$N = 20$（总体个数），$M = 4$（“非低碳族”人数），$n = 3$（抽取人数），$X$的可能取值为0，1，2，3。
计算概率：
$P(X = 0)=\frac{C_{4}^{0}C_{16}^{3}}{C_{20}^{3}}=\frac{1×560}{1140}=\frac{28}{57}$
$P(X = 1)=\frac{C_{4}^{1}C_{16}^{2}}{C_{20}^{3}}=\frac{4×120}{1140}=\frac{480}{1140}=\frac{8}{19}$
$P(X = 2)=\frac{C_{4}^{2}C_{16}^{1}}{C_{20}^{3}}=\frac{6×16}{1140}=\frac{96}{1140}=\frac{8}{95}$
$P(X = 3)=\frac{C_{4}^{3}C_{16}^{0}}{C_{20}^{3}}=\frac{4×1}{1140}=\frac{4}{1140}=\frac{1}{285}$
$X$的分布列为：
| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $P$ | $\frac{28}{57}$ | $\frac{8}{19}$ | $\frac{8}{95}$ | $\frac{1}{285}$ |
均值$E(X)=n×\frac{M}{N}=3×\frac{4}{20}=\frac{3}{5}$。
综上，$X$的分布列如上表所示，均值为$\frac{3}{5}$。

1-1 [2025·济南高二检测]某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生、4名女生，从中选出4人参加数学竞赛，用$X$表示其中的男生人数.求至少有2名男生参加数学竞赛的概率.

答案： 1-1 解：依题意，得随机变量$X$服从超
几何分布，且$N=10$，$M=6$，$n=4$，
所以$P(X=0)=\frac{C_{6}^{0}C_{4}^{4}}{C_{10}^{4}}=\frac{1}{210}$，
$P(X=1)=\frac{C_{6}^{1}C_{4}^{3}}{C_{10}^{4}}=\frac{4}{35}$，
$P(X=2)=\frac{C_{6}^{2}C_{4}^{2}}{C_{10}^{4}}=\frac{3}{7}$，
$P(X=3)=\frac{C_{6}^{3}C_{4}^{1}}{C_{10}^{4}}=\frac{8}{21}$，
$P(X=4)=\frac{C_{6}^{4}C_{4}^{0}}{C_{10}^{4}}=\frac{1}{14}$，
（方法1 直接法）
$P(X\geq2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X$
$=4)=\frac{3}{7}+\frac{8}{21}+\frac{1}{14}=\frac{37}{42}$
（方法2 间接法）
由分布列的性质，得$P(X\geq2)=1-P(X＜2)=1-[P(X=0)+P(X=1)]$
$=1-(\frac{1}{210}+\frac{4}{35})=\frac{37}{42}$

2-1 设随机变量$X$的分布列为$P(X = k)=\frac{C_{M}^{k}C_{N - M}^{3 - k}}{C_{N}^{3}}(k = 0,1,2)$，则$E(X)=$$\frac{6}{7}$.
(方法1)$E(X)=0×\frac{28}{57}+1×\frac{8}{19}+2×\frac{8}{95}+3×\frac{1}{285}=\frac{3}{5}$
(方法2)$X$服从超几何分布，
则$E(X)=\frac{nM}{N}=\frac{3×4}{20}=\frac{3}{5}$.

答案： 2-1 $\frac{6}{7}$ 解：依题意，知$X$服从超几何
分布，且$N=7$，$M=2$，$n=3$，所以$E(X)$
$=\frac{3×2}{7}=\frac{6}{7}$.