《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例10 $6$张同排连号的电影票，分给$3$名教师与$3$名学生，若要求师生相间而坐，则不同的坐法种数是(B)

A.$36$
B.$72$
C.$120$
D.$720$

答案： B

例11 有$4$名男生，$3$名女生，其中$3$名女生高矮各不相同，将$7$名学生排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法？

答案： 840种

例12 $a$，$b$，$c$，$d$，$e$五位同学围着一张圆桌就坐.
(1)一共有多少种不同的入座方式？
(2)如果$a$，$b$两人相邻，那么有多少种不同的入座方式？

答案：
(1)24种
(2)12种

3 - 7 将4名男生，4名女生排成一排，分别求下列情形的排法种数：
(1)甲、乙二人必须站在一起；
(2)甲、乙二人不能站在一起；
(3)男女必须间隔而站；
(4)甲、乙二人中间恰有1人.

答案：
(1)10080
(2)30240
(3)1152
(4)8640

3 - 8 $a$，$b$，$c$，$d$，$e$五人并排站成一排，如果$b$必须站在$a$的右边($a$，$b$可以不相邻)，那么不同的排法种数是(B)
A.$24$
B.$60$
C.$90$
D.$120$

答案： B 解析：（方法1 缩倍法）因为$b$在$a$的右边与$b$在$a$的左边排法数相同，所以共有$\frac{A_{5}^{5}}{A_{2}^{2}} = 60$种排法.
（方法2 分步法）分两步，第一步先排$c$，$d$，$e$，共有$A_{3}^{3} = 60$种排法.
第二步排$a$，$b$，因为$a$，$b$的顺序一定，故只有一种排法.
由分步乘法计数原理，不同的排法种数是$60 × 1 = 60$.

3 - 9 $5$个女孩与$5$个男孩围成一圈，任意$2$个女孩中间要站$1$个男孩，则不同的排法有2880种(填数字).

答案： 2880 解析：因为任意2个女孩中间要站1个男孩，所以男孩、女孩间隔排列.
先把5个女孩排成一个圈，这是一个圆形排列，因此排法共有$\frac{5!}{5} = (5 - 1)! = 4!$种，再把5个男孩放入5个女孩构成的圆形排列的5个间隔中，有$5!$种排法.
由分步乘法计数原理，不同的排法共有$4! × 5! = 2880$种.