《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

高考试题 1 [全国卷]将字母$a,a,b,b,c,c$排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()

A.12 种
B.18 种
C.24 种
D.36 种

答案： A

考题再现 1 [山东卷]用$0,1,·s,9$十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(B)

A.243
B.252
C.261
D.279

答案： 1.B 解析：用0,1，⋯，9这十个数字组成三位数(各位数字允许重复)，可分为三步：第一步，选择百位数字，0不能作首位，有9种选法；第二步，选择十位数字，十个数字都可以选择，有10种选法；第三步，选择个位数字，十个数字都可以选择，有10种选法．根据分步乘法计数原理，由这十个数字能够组成三位数的个数为9×10×10=900.其中，用这十个数字组成无重复数字的三位数，也可分为三步：第一步，选择百位数字，0不能作首位，有9种选法；第二步，选择十位数字，除百位已选数字外，还有九个数字(含0)可选，因此有9种选法；第三步，选择个位数字，除百位与十位已选的两个数字外，还有八个数字可选，因此有8种选法．根据分步乘法计数原理，由这十个数字可组成无重复数字的三位数的个数为9×9×8=648.故由0,1，⋯，9这十个数字可组成有重复数字的三位数的个数为900-648=252.

考题 2 [全国Ⅱ卷]如图 6-4-1，将钢琴上的 12 个键依次记为$a_1,a_2,·s,a_{12}$. 设$1\leq i ＜ j ＜ k\leq12$. 若$k - j = 3$且$j - i = 4$，则称$a_i,a_j,a_k$为原位大三和弦；若$k - j = 4$且$j - i = 3$，则称$a_i,a_j,a_k$为原位小三和弦. 用这 12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为(C)

A.5
B.8
C.10
D.15

答案： 2.C 解析：根据题意可知，原位大三和弦满足k-j=3且j-i=4，所以i=1,j=5,k=8；i=2,j=6,k=9；i=3,j=7,k=10；i=4,j=8,k=11；i=5,j=9,k=12.原位小三和弦满足k-j=4且j-i=3，所以i=1,j=4,k=8；i=2,j=5,k=9；i=3,j=6,k=10；i=4,j=7,k=11；i=5,j=8,k=12.故个数之和为10.

高考试题 2 [2025·上海卷]4 个家长和两个儿童去爬山，6 个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列有种.

答案： 288

高考试题 3 [全国Ⅰ卷]从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有种.(用数字填写答案)

答案： 16

高考试题 4 [2024·新课标Ⅰ卷]甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字 1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字 2,4,6,8. 两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上的数字大小，数字大的人得 1 分，数字小的人得 0 分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用)，则四轮比赛后，甲的总得分不小于 2 的概率为.

答案： $\frac{1}{2}$