《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

13.[2025·郑州高二检测]从集合$\{ 1,2,3,·s,10\}$中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为(D)

A.3
B.4
C.6
D.8

答案： 13.D解析:以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9；以2为首项的等比数列为2,4,8；以4为首项的等比数列为4,6,9.
把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，所以所求的数列共有2×(2+1+1)=8个.

14.[2025·广东中山高二检测]四色问题又称四色猜想、四色定理,是世界近代三大数学难题之一.地图四色定理最先是由一位英国大学生提出来的.四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”.也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行.请用四种颜色(可以不全用完)对图6-1-15中的区域进行涂色,并保证相邻区域的颜色不同,则共有72种涂色方法.

答案： 14.72解析:对于区域5，有4种颜色可供选择.对于区域2，与5相邻，有3种颜色可选.对于区域1，与2,5相邻，有2种颜色可选.对于区域3，与1,5相邻，有2种颜色可选.
若区域3与2颜色不同，则区域4只有1种颜色可选，若区域3与2颜色相同，则区域4有2种颜色可选，则一共有4×3×2×(1+2)=72种涂色方法.

15.[2025·深圳高二检测]某同学甲玩耍上楼梯的游戏:建筑物有10级台阶的楼梯,一步可以迈一级或两级台阶,问这位同学有多少种不同的爬楼方法?

答案： 15.解:设该同学爬n个台阶有$a_{n}$种方法.
考虑最后一步:若最后一步只迈一级台阶，则上前n - 1个台阶有$a_{n-1}$种方法;若最后一步迈两级台阶，则上前n - 2个台阶有$a_{n-2}$种方法.
由分类加法计数原理得$a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$(n≥3)，易知其初值$a_{1}=1$，$a_{2}=2$，则$a_{3}=a_{1}+a_{2}=3$，$a_{4}=a_{2}+a_{3}=5$，$a_{5}=a_{3}+a_{4}=8$，$a_{6}=a_{4}+a_{5}=13$，$a_{7}=a_{5}+a_{6}=21$，$a_{8}=a_{6}+a_{7}=34$，$a_{9}=a_{7}+a_{8}=55$，$a_{10}=a_{8}+a_{9}=89$，故该同学上10级台阶的楼梯有89种不同的爬楼方法.

16.[上海高三数学竞赛]求不定方程$x + y + z + w = 25$的满足$x＜y$的正整数解$(x,y,z,w)$的组数.

答案： 16.解:当x=1时，不同的情况有21+20+19+…+1=231种;当x=2时，不同的情况有19+18+17+…+1=190种;当x=3时，不同的情况有17+16+15+…+1=153种;…;当x=10时，不同的情况有3+2+1=6种;当x=11时，只有1种情况.
故满足题意的正整数解(x,y,z,w)的组数为1+6+15+…+153+190+231=946.