《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

教材第69页例6
投资A,B两种股票,每股收益的分布列分别如下两表所示.

(1)投资哪种股票的期望收益大?
(2)投资哪种股票的风险较高?

答案：
(1) 计算期望收益：
股票A的期望收益 $ E(X) = (-1) × 0.1 + 0 × 0.3 + 2 × 0.6 = -0.1 + 0 + 1.2 = 1.1 $（元）；
股票B的期望收益 $ E(Y) = 0 × 0.3 + 1 × 0.4 + 2 × 0.3 = 0 + 0.4 + 0.6 = 1.0 $（元）。
因为 $ 1.1 ＞ 1.0 $，所以投资股票A的期望收益大。
(2) 计算方差（风险）：
股票A的方差 $ D(X) $：
$ E(X) = 1.1 $，
$ D(X) = (-1 - 1.1)^2 × 0.1 + (0 - 1.1)^2 × 0.3 + (2 - 1.1)^2 × 0.6 $
$ = (-2.1)^2 × 0.1 + (-1.1)^2 × 0.3 + (0.9)^2 × 0.6 $
$ = 4.41 × 0.1 + 1.21 × 0.3 + 0.81 × 0.6 = 0.441 + 0.363 + 0.486 = 1.29 $。
股票B的方差 $ D(Y) $：
$ E(Y) = 1.0 $，
$ D(Y) = (0 - 1.0)^2 × 0.3 + (1 - 1.0)^2 × 0.4 + (2 - 1.0)^2 × 0.3 $
$ = (-1.0)^2 × 0.3 + 0^2 × 0.4 + (1.0)^2 × 0.3 = 1.0 × 0.3 + 0 + 1.0 × 0.3 = 0.6 $。
因为 $ 1.29 ＞ 0.6 $，所以投资股票A的风险较高。
(1) 股票A；
(2) 股票A。

教材第71页习题7.3第1题
某品牌手机投放市场,每部手机可能发生按定价售出、打折后售出、没有售出而收回三种情况.按定价售出每部利润100元,打折后售出每部利润0元,没有售出而收回每部利润-300元.据市场分析,发生这三种情况的概率分别为0.6,0.3,0.1.求每部手机利润的均值和方差.

答案： 设每部手机利润为随机变量$X$，其可能取值为100，0，-300。
均值计算：
$\begin{aligned}E(X)&=100×0.6 + 0×0.3 + (-300)×0.1\\&=60 + 0 - 30\\&=30\end{aligned}$
方差计算：
$\begin{aligned}E(X^2)&=100^2×0.6 + 0^2×0.3 + (-300)^2×0.1\\&=10000×0.6 + 0 + 90000×0.1\\&=6000 + 9000\\&=15000\end{aligned}$
$\begin{aligned}D(X)&=E(X^2)-[E(X)]^2\\&=15000 - 30^2\\&=15000 - 900\\&=14100\end{aligned}$
结论： 均值为30，方差为14100。

2-1甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也分别大致相等,而两个保护区内每个季度发生违反保护条例的事件次数的分布列分别为
甲：

乙：

试评定两个保护区的管理水平.

答案： 2-1 解：甲保护区发生违反保护条例
的事件次数$\xi$的均值和方差分别为$E(\xi)$
$=0×0.3+1×0.3+2×0.7+3×0.2=1.3$，
$D(\xi)=(0-1.3)^{2}×0.3+(1-1.3)^{2}×0.3+(2-1.3)^{2}×0.2+(3-1.3)^{2}×0.2=1.21$.
乙保护区发生违反保护条例的事件次
数$\eta$的均值和方差分别为$E(\eta)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,D(\eta)=(0-1.3)^{2}×0.1+(1-1.3)^{2}×0.5+(2-1.3)^{2}×0.4=0.41$.
因为$E(\xi)=E(\eta),D(\xi)\gt D(\eta)$，
所以两个保护区内每个季度发生违反
保护条例的事件的平均次数相同，但甲
保护区发生违反保护条例的事件次数
相对分散和波动，乙保护区发生违反保
护条例的事件次数更集中和稳定.故乙
保护区的管理水平较高.