《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

示例 (1)写出$(2 + x)^4$的展开式；
(2)求$(2 + x)^4$展开式的第$3$项的二项式系数；
(3)求$(2 + x)^4$展开式的第$3$项的系数.

答案：
(1) 根据二项式定理，$(2 + x)^4$的展开式为：
$(2 + x)^4 = C_4^0 · 2^4 · x^0 + C_4^1 · 2^3 · x^1 + C_4^2 · 2^2 · x^2 + C_4^3 · 2^1 · x^3 + C_4^4 · 2^0 · x^4$
$= 16 + 32x + 24x^2 + 8x^3 + x^4$
(2) $(2 + x)^4$展开式中，第3项对应的是$x^2$的系数前的项，其二项式系数为组合数$C_4^2$：
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = 6$
(3) $(2 + x)^4$展开式中，第3项的具体形式为$C_4^2 · 2^{4-2} · x^2$，其系数为：
$C_4^2 · 2^{2} = 6 × 4 = 24$

示例 化简：(1)$16 - 32x + 24x^2 - 8x^3 + x^4$.
(2)$C_{2024}^0 - 2C_{2024}^1 + 2^2C_{2024}^2 + ·s + 2^{2024}C_{2024}^{2024}$

答案： 解
(1)原式$=C_4^0×2^4 - C_4^1×2^3x + C_4^2×2^2x^2 - C_4^3×2x^3 + C_4^4× x^4 = (2 - x)^4$.【8】
(2)原式$=C_{2024}^0×(-1)^{2024} + C_{2024}^1×2×(-1)^{2023} + C_{2024}^2×2^2×(-1)^{2022} + ·s + C_{2024}^{2024}×2^{2024} = (-1 + 2)^{2024} = 1$.

例1 求$\left(3\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^4$的展开式.

答案： 解：方法1：
$\begin{aligned}\left(3\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^4&=C_4^0(3\sqrt{x})^4+C_4^1(3\sqrt{x})^3\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+C_4^2(3\sqrt{x})^2\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+C_4^3(3\sqrt{x})\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^3+C_4^4\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^4\\&=1×81x^2 + 4×27x + 6×9 + 4×3×\frac{1}{x} + 1×\frac{1}{x^2}\\&=81x^2 + 108x + 54 + \frac{12}{x} + \frac{1}{x^2}\end{aligned}$
方法2：
$\begin{aligned}\left(3\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^4&=\left(\frac{3x + 1}{\sqrt{x}}\right)^4\\&=\frac{(1 + 3x)^4}{x^2}\\&=\frac{1}{x^2}\left[C_4^01^4 + C_4^11^3(3x) + C_4^21^2(3x)^2 + C_4^31(3x)^3 + C_4^4(3x)^4\right]\\&=\frac{1}{x^2}\left(1 + 12x + 54x^2 + 108x^3 + 81x^4\right)\\&=\frac{1}{x^2} + \frac{12}{x} + 54 + 108x + 81x^2\end{aligned}$
展开式为$81x^2 + 108x + 54 + \frac{12}{x} + \frac{1}{x^2}$

1-1 下列不属于$(y - 2)^3$的展开式的项的是(B)

A.$x^3$
B.$6x^2$
C.$12x$
D.$-8$

答案： 1-1 B 解析：由二项式定理可知，
$(x - 2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$，
故$6x^2$不是展开式的项.

1-2 求$\left(2x-\frac{3}{2x^2}\right)^5$的展开式.

答案： 1-2 解：$\left(2x - \frac{3}{2x^2}\right)^5 = \mathrm{C}_5^0(2x)^5 +$
$\mathrm{C}_5^1(2x)^4\left(-\frac{3}{2x^2}\right) + \mathrm{C}_5^2(2x)^3\left(-\frac{3}{2x^2}\right)^2 + \mathrm{C}_5^3(2x)^2\left(-\frac{3}{2x^2}\right)^3 + \mathrm{C}_5^4(2x)\left(-\frac{3}{2x^2}\right)^4 +$
$\mathrm{C}_5^5\left(-\frac{3}{2x^2}\right)^5 = 32x^5 - 120x^2 + \frac{180}{x} -$
$\frac{135}{x^4} + \frac{405}{8x^7} - \frac{243}{32x^{10}}$