《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

1. $ (3 + x)^4 $展开式中第 2 项的系数为(A)

A.108
B.81
C.54
D.12

答案： 1.A 解析:$T_{r + 1} = C_{4}^{1} · 3^{3} · x = 108x$,
所以展开式中第$2$项的系数为$108$.

2. $ \left( x^2 - \frac{1}{x} \right)^9 $的展开式的中间项为(C)

A.$ 126x^6 $
B.$ -126x^3 $
C.$ 126x^6 $和$ -126x^3 $
D.$ 126x^6 $和$ 126x^3 $

答案： 2.C 解析:$(x^{2} - \frac{1}{x})^{9}$的展开式共有$10$
项,中间项有两项,为第五项和第六项,
$T_{5} = C_{9}^{4}(x^{2})^{5}( - \frac{1}{x})^{4} = 126x^{6}$,
$T_{6} = C_{9}^{5}(x^{2})^{4}( - \frac{1}{x})^{5} = - 126x^{3}$.

3. 已知$ \left( x + \frac{a}{x} \right)^6 $的展开式中的常数项为$ -160 $，则实数$ a = $(B)

A.2
B.-2
C.8
D.-8

答案： 3.B 解析:$(x + \frac{a}{x})^{6}$展开式的通项为
$T_{k + 1} = C_{6}^{k}x^{6 - 2k}a^{k}$,
令$k = 3$得$C_{6}^{3}a^{3} = - 160$,
解得$a = - 2$.

4. $ \left( 1 + \sqrt{x} + \frac{2}{x} \right)^5 $的展开式中，含$ x $的项的系数为(D)

A.8
B.9
C.10
D.20

答案： 4.D 解析:$(1 + \sqrt{x} + \frac{2}{x})^{5} =$
$\lbrack 1 + (\sqrt{x} + \frac{2}{x})\rbrack^{5}$,
该展开式的通项$A_{r + 1} = C_{5}^{r}(\sqrt{x} + \frac{2}{x})^{r}$
$(\sqrt{x} + \frac{2}{x})^{r}$展开式的通项$B_{k + 1} = C_{r}^{k} ·$
$(\sqrt{x})^{r - k} · (\frac{2}{x})^{k} = C_{r}^{k} · 2^{k} · x^{\frac{r - 3k}{2}}$,
所以$\lbrack 1 + (\sqrt{x} + \frac{2}{x})\rbrack^{5}$展开式的通项
$T_{r + 1,k + 1} = C_{5}^{r} · C_{r}^{k} · 2^{k} · x^{\frac{r - 3k}{2}}$,其中$0 \leqslant$
$k \leqslant r \leqslant 5,k,r \in N$,
令$\frac{r - 3k}{2} = 1$,得$r = 3k + 2 \leqslant 5$,得$k \leqslant 1$,
所以展开式中$x$的系数为
$C_{5}^{2}C_{2}^{0} + 2C_{5}^{1}C_{1}^{1} = 20$.

5. $ \left( x - \frac{1}{x} \right)(x - 2)^5 $的展开式中，含$ x^2 $的项的系数为(B)

A.120
B.40
C.-40
D.-80

答案： 5.B 解析:由$(x - \frac{1}{x})(x - 2)^{5} = x(x -$
$2)^{5} - \frac{1}{x}(x - 2)^{5}$,
可得含$x^{2}$的项为$x · C_{4}^{3} · x · ( - 2)^{4} -$
$\frac{1}{x} · C_{5}^{2} · x^{3} · ( - 2)^{2} = 80x^{2} - 40x^{2} = 40x^{2}$,
故含$x^{2}$的项的系数为$40$.

6. [2025·长沙高二检测]若$ (x^2 - a) \left( x + \frac{1}{x} \right)^{10} $的展开式中$ x^6 $的系数为 30，则$ a $等于(D)

A.$ \frac{1}{3} $
B.$ \frac{1}{2} $
C.1
D.2

答案： 6.D 解析:$(x + \frac{1}{x})^{10}$的展开式的通
项公式是$T_{k + 1} = C_{10}^{k} · x^{10 - k} · (\frac{1}{x})^{k} =$
$C_{10}^{k}x^{10 - 2k}$,$(x + \frac{1}{x})^{10}$的展开式中含$x^{4}(k$
$= 3),x^{6}(k = 2)$项的系数分别为$C_{10}^{3}$,
$C_{10}^{2}$,因此由题意得$C_{10}^{3} - aC_{10}^{2} = 30$,
即$120 - 45a = 30$,解得$a = 2$.

7. [2025·武汉高二检测]在$ (1 - x)^5 - (1 - x)^6 $的展开式中，含$ x^3 $的项的系数是(D)

A.-5
B.5
C.-10
D.10

答案： 7.D 解析:$(1 - x)^{5}$中含$x^{3}$的项的系数
为$- C_{5}^{3} = - 10$,$- (1 - x)^{6}$中含$x^{3}$的项的系
数为$- C_{6}^{3} · ( - 1)^{3} = 20$,
故在$(1 - x)^{5} - (1 - x)^{6}$的展开式中,含$x^{3}$的
项的系数为$10$.

8. 今天是星期日，经过 7 天后还是星期日，那么经过$ 8^{2023} $天后是(C)

A.星期六
B.星期日
C.星期一
D.星期二

答案： 8.C 解析:因为$8^{2023} = (7 + 1)^{2023} =$
$C_{2023}^{0} × 7^{2023} + C_{2023}^{1} × 7^{2022} + ·s + C_{2023}^{2022} ×$
$7 + C_{2023}^{2023}$,
所以它除以$7$的余数为$C_{2023}^{2023} = 1$,
所以经过$8^{2023}$天后是星期一.

9. $ (x + 1)^n (n \in \mathbb{N}^*) $的展开式中含$ x^3 $的项的系数为 20，则$ n = $6.

答案： 9.6 解析:$(x + 1)^{n}(n \in N^{*})$的展开式
的通项$T_{k + 1} = C_{n}^{k}x^{n - k}$,
令$n - k = 3$,得$k = n - 3$.
再根据$C_{n}^{k} = C_{n}^{n - 3} = C_{n}^{3} = \frac{n(n - 1)(n - 2)}{3 × 2 × 1}$
$= 20$,解得$n = 6$.

10. 某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据$ 0.98^{10} $的处理，经过思考，他决定采用精确到 0.01 的近似值，那么这个近似值是0.82.

答案： 10.0.82 解析:根据二项式定理可得,
$0.98^{10} = (1 - 0.02)^{10} \approx 1 - C_{10}^{1} × 0.02 + C_{10}^{2} ×$
$0.02^{2} \approx 0.8 + 0.018 \approx 0.82$.

11. 在$ (x + 3y)(x - 2y)^5 $的展开式中$ x^2 y^4 $的系数为- 160.

答案： 11.$- 160$ 解析:$(x - 2y)^{5}$的展开式通项
为$T_{k + 1} = C_{5}^{k}x^{5 - k} · ( - 2y)^{k}$,
令$5 - k = 1$,得$k = 4$,
令$5 - k = 2$,得$k = 3$.
所以在$(x + 3y) · (x - 2y)^{5}$的展开式中
$x^{2}y^{4}$的系数为$C_{5}^{4} × ( - 2)^{4} + 3 × C_{5}^{3} ×$
$( - 2)^{3} = - 160$.

12. 已知$ f(x) = (1 + x)^m, g(x) = (1 + 2x)^n (m, n \in \mathbb{N}^*) $.
(1)若$ m = 3, n = 4 $，求$ f(x)g(x) $的展开式中含$ x^2 $的项；
(2)令$ h(x) = f(x) + g(x) $，若$ h(x) $的展开式中含$ x $的项的系数为 12，那么当$ m, n $为何值时，含$ x^2 $的项的系数取得最小值?

答案： 12.解:
(1)当$m = 3,n = 4$时,
$f(x)g(x) = (1 + x)^{3}(1 + 2x)^{4}$.
$(1 + x)^{3}$的展开式的通项为$C_{3}^{r}x^{r}$,
$(1 + 2x)^{4}$的展开式的通项为$C_{4}^{k}(2x)^{k}$,
$f(x)g(x)$的展开式中含$x^{2}$的项为
$1 × C_{2}^{2}(2x)^{2} + C_{3}^{1}x × C_{4}^{1} · 2x + C_{3}^{2}x^{2} × 1$
$= 51x^{2}$.
(2)$h(x) = f(x) + g(x) = (1 + x)^{m} + (1 + 2x)^{n}$.
因为$h(x)$的展开式中含$x$的项的系数
为$12$,
所以$C_{m}^{1} + 2C_{n}^{1} = 12$,即$m + 2n = 12$,
所以$m = 12 - 2n$.
$x^{2}$的系数为$C_{m}^{2} + 4C_{n}^{2} = C_{12 - 2n}^{2} + 4C_{n}^{2}$
$= \frac{1}{2}(12 - 2n)(11 - 2n) + 2n(n - 1)$
$= 4n^{2} - 25n + 66$
$= 4(n - \frac{25}{8})^{2} + \frac{431}{16},n \in N^{*}$,
所以当$n = 3,m = 6$时,
含$x^{2}$的项的系数取得最小值.

13. [多选题] $ \left( x + \frac{1}{\sqrt{x}} \right)^6 $的展开式中，第(BD)项为有理项.

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： 13.BD 解析:展开式的通项
$T_{k + 1} = C_{6}^{k}x^{6 - k}(\frac{1}{\sqrt{x}})^{k} = C_{6}^{k}x^{6 - \frac{3k}{2}}$,
当$6 - \frac{3k}{2}$为整数时,$k = 0,2,4,6$,
故展开式中第$1,3,5,7$项为有理项.

14. [2025·杭州高二检测] [多选题] 使得$ \left( 3x + \frac{1}{x\sqrt{x}} \right)^n (n \in \mathbb{N}^*) $的展开式中含有常数项的$ n $的值为(BD)

A.2
B.5
C.8
D.10

答案： 14.BD 解析:$3x + \frac{1}{x\sqrt{x}}^{n}$的展开式
的通项为
$T_{k + 1} = C_{n}^{k}(3x)^{n - k}(\frac{1}{x\sqrt{x}})^{k} = C_{n}^{k} · 3^{n - k} · x^{n - \frac{5k}{2}}$.
要存在常数项,则$n = \frac{5}{2}k$,
当$n = 2$时,$k = \frac{4}{5}$,舍去;
当$n = 5$时,$k = 2$;
当$n = 8$时,$k = \frac{16}{5}$,舍去;
当$n = 10$时,$k = 4$.
故选BD.

15. 已知正整数$ n \geq 8 $，若$ \left( x - \frac{1}{x} \right)(1 - x)^n $的展开式中没有含$ x^8 $的项，则$ n $的值为(C)

A.8
B.9
C.10
D.11

答案： 15.C 解析:因为$(1 - x)^{n}$展开式的通
项为$C_{n}^{k}( - 1)^{k}x^{k}$,则$(1 - x)^{n}$展开式中含$x^{4}$的项的系数为$C_{n}^{4}$,含$x^{6}$的项的系数
为$C_{n}^{6}$,
又$(x - \frac{1}{x})(1 - x)^{n} = x(1 - x)^{n} - x^{- 1}(1 - x)^{n}$,
所以要使展开式中没有含$x^{5}$的项,
则$C_{n}^{4} = C_{n}^{6}$,即$\frac{n(n - 1)(n - 2)(n - 3)}{4 × 3 × 2 × 1} =$
$\frac{n(n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5)}{6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1}$,
即$n^{2} - 9n - 10 = 0$.
又$n \geqslant 8$,所以$n = 10$.

16. 干支纪年是中国传统纪年历法.分别排出十天干与十二地支如下：
天干：甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
地支：子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，$ ·s $，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用.已知 2023 年是癸卯年，则$ 13^8 + 2 $年以后是丙午年.

答案： 16.丙午 解析:因为$13^{8} + 2 = (12 + 1)^{8} +$
$2 = 12^{8} + C_{8}^{1} × 10 × 7^{7} + 3^{8} + 2$,
又因为$3^{8} + 2 = 6563,3^{8} + 2$除以$10$余
数为$3$,所以$13^{8} + 2$以后地干为“丙”.
故$13^{8} + 2$以后是丙午年.

17. 若将函数$ f(x) = x^4 $表示为$ f(x) = a_0 + a_1(1 + x) + a_2(1 + x)^2 + a_3(1 + x)^3 + a_4(1 + x)^4 $，其中$ a_0, a_1, a_2, a_3, a_4 $为实数，则$ a_3 = $- 4.

答案： 17.$- 4$ 解析:由题可知
$f(x) = x^{4} = \lbrack(x + 1) - 1\rbrack^{4}$
$= C_{4}^{0}(x + 1)^{4} + C_{4}^{1}(x + 1)^{3}( - 1) + C_{4}^{2}(x +$
$1)^{2}( - 1)^{2} + C_{4}^{3}(x + 1)( - 1)^{3} + C_{4}^{4} · ( - 1)^{4}$,
又$f(x) = a_{0} + a_{1}(1 + x) + a_{2}(1 + x)^{2} + a_{3}(1 +$
$x)^{3} + a_{4}(1 + x)^{4}$,
所以$a_{3} = C_{4}^{4} × ( - 1) = - 4$.

18. 已知$ \left( x^2 + \frac{2}{\sqrt{x}} \right)^m $的展开式中，第 4 项的系数与倒数第 4 项的系数之比为$ \frac{1}{2} $.
(1)求$ m $的值；
(2)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.

答案： 18.解:
(1)展开式的通项$T_{k + 1} =$
$C_{m}^{k}(x^{2})^{m - k} · (\frac{2}{\sqrt{x}})^{k} = C_{m}^{k} · 2^{k} · x^{2m - \frac{5k}{2}}$,
所以展开式中第$4$项的系数为$C_{m}^{3} · 2^{3}$,
倒数第$4$项的系数为$C_{m}^{m - 3} · 2^{m - 3}$,
所以$\frac{C_{m}^{3} · 2^{3}}{C_{m}^{m - 3} · 2^{m - 3}} = \frac{1}{2}$,即$\frac{1}{2} = \frac{1}{2^{m - 6}}$,
所以$m = 7$.
(2)展开式共有$8$项,由
(1)可得当$2m -$
$\frac{5k}{2}$为整数,即$k = 0,2,4,6$时对应项为
有理项,共有$4$个有理项,
所以由插空法可得有理项不相邻的概
率为$\frac{A_{4}^{4}A_{5}^{4}}{A_{8}^{8}} = \frac{1}{14}$.