《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

1. 一个不透明的袋子中有 100 个大小相同的球,其中有 40 个黄球、60 个白球,从中不放回地随机摸出 20 个球作为样本，用随机变量$X$表示样本中黄球的个数，则$X$服从(C)

A.二项分布，且$n = 20$,$p = 0.4$
B.两点分布，且$p = 0.4$
C.超几何分布，且$N = 100$,$M = 40$,$n = 20$
D.超几何分布，且$N = 100$,$M = 60$,$n = 20$

答案： 1.C 解析：因为是不放回地随机摸出20个球作为样本，所以由超几何分布的定义得X服从超几何分布，其中$N=100$，$M=40$，$n=20$。

2. 某县的 15 个乡镇中有 9 个乡镇交通比较便利，有 6 个不太便利. 现从中任意选取 10 个乡镇，设交通不太便利的乡镇个数为$X$,则概率为$\frac { C$${ 6 } ^ { 4 } C$${ 9 } ^ { 6 } } { C$${ 1 5 } ^ { 1 0 } }$的是(A)

A.$P(X = 4)$
B.$P(X \leq 4)$
C.$P(X = 6)$
D.$P(X \leq 6)$

答案： 2.A 解析：X服从超几何分布，且$N=15$，$M=6$，$n=10$，$P(X=4)=\frac{C_{4}^{4}C_{9}^{6}}{C_{15}^{10}}$。

3. 现有语文、数学课本共 7 本(其中语文课本不少于 2 本)，从中任取 2 本，至多有 1 本语文课本的概率是$\frac { 5 } { 7 }$,则语文课本有(C)

A.2 本
B.3 本
C.4 本
D.5 本

答案： 3.C 解析：设语文课本有$n(n\geqslant2)$本，则数学课本有$(7-n)$本，则2本都是语文课本的概率是$\frac{C_{n}^{2}C_{7-n}^{0}}{C_{7}^{2}}=\frac{2}{7}$，
所以$n^2-n-12=0$，
解得$n=4$或$n=-3$(舍去)，
所以语文课本有4本.

4. [2025·武汉高二检测]一个袋子中装有 10 个质地、大小相同的黑球和白球. 已知从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是$\frac { 7 } { 9 }$. 从袋中任意摸出 3 个球，记得到白球的个数为$X$,则$P(X = 2) =$(C)

A.$\frac { 7 } { 9 }$
B.$\frac { 2 } { 9 }$
C.$\frac { 5 } { 1 2 }$
D.$\frac { 1 } { 2 }$

答案： 4.C 解析：设袋中白球的个数为$x$，
由题意，得$1-\frac{C_{2}^{2}}{C_{10-x}^{2}}=\frac{7}{9}$，解得$x=5$.
$X$服从超几何分布，其中$P(X=2)=\frac{C_{x}^{2}C_{5}^{1}}{C_{10}^{3}}=\frac{5}{12}$.

5. [多选题]为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动. 为了调查学生对冬奥会项目的了解情况，在本市中小学中随机抽取了 10 所学校中的部分同学，10 所学校中了解冬奥会项目的人数如图 7-4-5 所示：
若从这 10 所学校中随机选取 3 所学校进行冬奥会项目的宣讲活动，记$X$为被选中的学校中了解冬奥会项目的人数在 30 以上的学校所数，则下列说法中正确的有(ACD)

A.$X$的可能取值为 0,1,2,3
B.$P(X = 0) = \frac { 1 } { 3 }$
C.$E(X) = 1.2$
D.$D(X) = \frac { 1 4 } { 2 5 }$

答案： 5.ACD 解析：由题意，$X$的可能取值为0,1,2,3，A正确；
$X$服从超几何分布，且$N=10$，$M=4$，$n=3$，其分布列为$P(X=k)=\frac{C_{4}^{k}C_{6}^{3-k}}{C_{10}^{3}}(k=0,1,2,3)$，则$P(X=0)=\frac{C_{4}^{0}C_{6}^{3}}{C_{10}^{3}}=\frac{1}{6}$，
B错误；
$E(X)=\frac{3×4}{10}=1.2$，C正确；
$D(X)=\frac{nM}{N}(1-\frac{M}{N})\frac{N-n}{N-1}=\frac{14}{25}$，D正确.

6. [2025·山东潍坊高二检测]某 12 人的兴趣小组中，有 5 名“三好学生”，现从中任意选 6 人参加竞赛，用$X$表示这 6 人中“三好学生”的人数，则当$X$取2或3时，对应的概率为$\frac { C$${ 5 } ^ { 2 } C$${ 7 } ^ { 3 } } { C$${ 1 2 } ^ { 6 } }$.

答案： 6.2或3 解析：由题意可知，$X$服从超几何分布，且$\frac{C_{7}^{k}C_{3}^{6-x}}{C_{12}^{6}}=\frac{C_{5}^{2}C_{7}^{3}}{C_{12}^{6}}$
所以$\frac{C_{7}^{x}C_{6}^{6-x}}{C_{12}^{6}}=\frac{C_{7}^{2}C_{5}^{3}}{C_{12}^{6}}$，
所以$x=2$或3.

7. [2025·济南高二检测]某产品按照产品质量标准分为 1 等品、2 等品、3 等品、4 等品四个等级. 某采购商从采购的产品中随机抽取 100 个，根据产品的等级分类标准得到如图 7-4-6 所示的条形图.
(1)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取 3 个，求恰好有 1 个 4 等品的概率.
(2)按分层抽样从这 100 个产品中抽取 10 个. 现从这 10 个产品中随机抽取 3 个，记这 3 个产品中 1 等品的数量为$X$,求$X$的分布列及数学期望.

答案： 7.解：
(1)记抽到4等品的数量为$\xi$，从采购的产品中有放回地随机抽取3个，
取1个产品为4等品的概率为$\frac{20}{100}=\frac{1}{5}$，
所以$\xi\sim B(3,\frac{1}{5})$，则
$P(\xi=1)=C_{3}^{1}×(\frac{4}{5})^2×(\frac{1}{5})=\frac{48}{125}$，
即恰好有1个4等品的概率为$\frac{48}{125}$，
(2)按分层抽样从这100个产品中抽取的10个产品中，1等品有$\frac{40}{100}×10=4$(个)，非1等品有$\frac{60}{100}×10=6$(个).
由题意，$X$服从超几何分布，$X$的可能取值为0,1,2,3，
则$P(X=0)=\frac{C_{4}^{0}C_{6}^{3}}{C_{10}^{3}}=\frac{1}{6}$，
$P(X=1)=\frac{C_{4}^{1}C_{6}^{2}}{C_{10}^{3}}=\frac{1}{2}$，
$P(X=2)=\frac{C_{4}^{2}C_{6}^{1}}{C_{10}^{3}}=\frac{3}{10}$，
$P(X=3)=\frac{C_{4}^{3}C_{6}^{0}}{C_{10}^{3}}=\frac{1}{30}$，
则$X$的分布列为
$\begin{matrix}X&0&1&2&3\\P&\frac{1}{6}&\frac{1}{2}&\frac{3}{10}&\frac{1}{30}\end{matrix}$
$E(X)=0×\frac{1}{6}+1×\frac{1}{2}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{1}{30}=\frac{6}{5}$（或$E(X)=3×\frac{4}{10}=\frac{6}{5}$）

8. [2025·济南高二检测]为了解某次活动中对志愿者培训的效果，从中随机抽取 80 名志愿者的考核成绩，根据这 80 名志愿者的考核成绩，得到的统计图(如图 7-4-7)表如下所示.
男志愿者考核成绩频率分布直方图

女志愿者考核成绩频率分布表
若参加这次考核的志愿者考核成绩在$[90,100]$内，则考核等级为优秀.
(1)分别求这次培训考核等级为优秀的男、女志愿者人数；
(2)若从样本中考核等级为优秀的志愿者中随机抽取 3 人进行学习心得分享，记抽到女志愿者的人数为$X$,求$X$的分布列和均值.

答案： 8.解：
(1)由女志愿者考核成绩频率分布表可知被抽取的女志愿者的人数为$2÷0.050=40$.
因为$0.050+0.325+0.450+m+0.075=1$，
所以$m=0.100$，
所以这次培训考核等级为优秀的女志愿者人数为$40×(0.100+0.075)=7$.
因为被抽取的志愿者人数是80，所以被抽取的男志愿者人数是$80-40=40$.
由男志愿者考核成绩频率分布直方图可知，男志愿者这次培训考核等级为优秀的的频率为$(0.010+0.015)×5=0.125$，
则这次培训考核等级为优秀的男志愿者人数为$40×0.125=5$.
(2)由题意可知$X$服从超几何分布，
$X$的可能取值为0,1,2,3.
$P(X=0)=\frac{C_{3}^{0}C_{6}^{3}}{C_{12}^{3}}=\frac{10}{220}=\frac{1}{22}$，
$P(X=1)=\frac{C_{7}^{1}C_{6}^{2}}{C_{12}^{3}}=\frac{70}{220}=\frac{7}{22}$，
$P(X=2)=\frac{C_{7}^{2}C_{6}^{1}}{C_{12}^{3}}=\frac{105}{220}=\frac{21}{44}$，
$P(X=3)=\frac{C_{7}^{3}C_{6}^{0}}{C_{12}^{3}}=\frac{35}{220}=\frac{7}{44}$
$X$的分布列为
$\begin{matrix}X&0&1&2&3\\P&\frac{1}{22}&\frac{7}{22}&\frac{21}{44}&\frac{7}{44}\end{matrix}$
故$E(X)=0×\frac{1}{22}+1×\frac{7}{22}+2×\frac{21}{44}+3×\frac{7}{44}=\frac{7}{4}$（或$E(X)=3×\frac{7}{12}=\frac{7}{4}$）