《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例1II某婴幼儿L游泳馆为了吸引顾客，推出优惠活动，即对首次消费的顾客按80元收费，并注册成为会员，对会员
消费的不同次数给予相应的优惠，标准如下:
消费次数第1次第2次第3次不少于4次
收费比例 1 0.95 0.90 0.85
该游泳馆从注册的会员中,随机抽取了100位会员并统计他们的消费次数，得到数据如下:
消费次数 1 2 3 不少于4
频数 60 25 10 5
假设每位顾客游泳1次，游泳馆的成本为30元.根据所给数据，回答下列问题:
(1)估计该游泳馆1位会员至少消费2次的概率;
(2)某会员消费4次,求这4次消费中,游泳馆获得的平均利润;
(3)假设每个会员最多消费4次,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,从该游泳馆的所有会员中随机抽取2位,记游泳馆从这2位会员的消费中获得的平均利润之差的绝对值为X,求X的分布列和均值E(X).

答案：
(1)随机抽取的100位会员中，至少消费2次的会员有25+10+5=40位，故概率$p=\frac{40}{100}=\frac{2}{5}$。
(2)第1次利润：$80-30=50$元；第2次利润：$80×0.95-30=46$元；第3次利润：$80×0.90-30=42$元；第4次利润：$80×0.85-30=38$元。平均利润为$\frac{50+46+42+38}{4}=44$元。
(3)不同消费次数的平均利润及概率：
消费1次：50元，概率$\frac{3}{5}$；
消费2次：$\frac{50+46}{2}=48$元，概率$\frac{1}{4}$；
消费3次：$\frac{50+46+42}{3}=46$元，概率$\frac{1}{10}$；
消费4次：44元，概率$\frac{1}{20}$。
$X$的可能取值为0,2,4,6。
$P(X=0)=\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{1}{4}\right)^2+\left(\frac{1}{10}\right)^2+\left(\frac{1}{20}\right)^2=\frac{87}{200}$；
$P(X=2)=2\left(\frac{3}{5}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{10}+\frac{1}{10}×\frac{1}{20}\right)=\frac{9}{25}$；
$P(X=4)=2\left(\frac{3}{5}×\frac{1}{10}+\frac{1}{4}×\frac{1}{20}\right)=\frac{29}{200}$；
$P(X=6)=2\left(\frac{3}{5}×\frac{1}{20}\right)=\frac{3}{50}$。
分布列为：
| $X$ | 0 | 2 | 4 | 6 |
|-----|----------|----------|-----------|----------|
| $P$ | $\frac{87}{200}$ | $\frac{9}{25}$ | $\frac{29}{200}$ | $\frac{3}{50}$ |
均值$E(X)=0×\frac{87}{200}+2×\frac{9}{25}+4×\frac{29}{200}+6×\frac{3}{50}=\frac{83}{50}$。
答案
(1)$\frac{2}{5}$；
(2)44元；
(3)分布列见上，$E(X)=\frac{83}{50}$。

李明参加中央电视台一档栏目的青年志愿者选拔，已
知备选的10道题中，李明能答对其中的6道题，规定
考试从备选题中随机地抽出3道题进行测试，至少答
对2道题才能入选.则李明人选的概率为$\frac{2}{3}$
甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下:先由两
2人上场比赛，第三人旁观，败者下场作为旁观者，原旁
观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去，三人经过抽
签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往
经验,每局比赛中:甲、乙比赛甲胜的概率为

$\frac{2}{3}$

,乙、丙
比赛乙胜的概率为$\frac{1}{2}$,丙、甲比赛丙胜的概率为$\frac{1}{3}$,每场
比赛相互独立且每场比赛没有平局.
(1)比赛完3局时，求甲、乙、丙各胜1局的概率;
(2)比赛完4局时，设丙作为旁观者的局数为随机变量
X,求X的分布列和期望.

二 数形结合的思想
男 数形结合的思想是指把抽象的数学语言与直观的图
形相结合，使抽象思维和形象思维结合起来.具体
来说就是，数的问题可以通过对图形的分析来解决，
形的问题也可以通过对数的研究来思考:数形结合
包括两个方面:第一种情形是“以数解形”，第二种
情形是“以形助数”本章很多内容是通过图象或表格给出的，在解题过程中，要理解这些图表中蕴含的
概率意义，充分利用图表，结合概率的性质来解题，
这体现了数形结合的思想方法,

答案： 1.$\frac{2}{3}$ 解析：设所选3道题中李明能答对的题数为$X$，则$X$服从参数为$N = 10,M = 6,n = 3$的超几何分布，且$P(X = k) = \frac{C_{6}^{k}C_{4}^{3 - k}}{C_{10}^{3}}(k = 0,1,2,3)$，故所求概率为$P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = \frac{C_{6}^{2}C_{4}^{1}}{C_{10}^{3}} + \frac{C_{6}^{3}C_{4}^{0}}{C_{10}^{3}} = \frac{60}{120} + \frac{20}{120} = \frac{2}{3}$。
2.解：
(1)用表格列出4局比赛可能的对手.
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(1)]
考虑前3局，甲、乙、丙各胜1局，有两种情形：
第1局若甲胜，则第2局甲丙比赛，丙胜，第3局丙乙比赛，乙胜；第1局若乙胜，则第2局乙丙比赛，丙胜，第3局丙甲比赛，甲胜.
故所求概率为$P = \frac{2}{3} × \frac{1}{3} × \frac{1}{2} + \frac{1}{3} × \frac{1}{2} × \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$。
(2)根据比赛规则，丙第1局作为旁观者，第2局必须参赛，第3局如果是旁观者，那么第4局必定参与比赛，而第3局比赛时，第4局可能参与比赛，也可能作为旁观者，所以$X$的可能取值是1,2.
由
(1)中表格知，
$P(X = 1) = \frac{2}{3} × \frac{1}{3} × \frac{1}{2} + \frac{1}{3} × \frac{1}{2} × \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$，
$P(X = 2) = \frac{2}{3} × \frac{2}{3} + \frac{2}{3} × \frac{1}{3} × \frac{1}{2} + \frac{1}{3} × \frac{1}{2} × \frac{2}{3} = \frac{5}{6}$，
所以$X$的分布列为
$X$ 1 2
$P$ $\frac{1}{6}$ $\frac{5}{6}$
$E(X) = 1 × \frac{1}{6} + 2 × \frac{5}{6} = \frac{11}{6}$。