《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

9. [多选题]某地区组织的一次公务员模拟考试有$300$人参加，根据分析，报考秘书职位的$37$位考生的《行政职业能力测验》(简称《行测》)和《申论》成绩与总成绩在全部考生中的排名情况如图8-1-7，从这次考试成绩看，下列结论正确的有(BC)

A.考生甲的《行测》成绩名次比乙的好
B.考生丁的《行测》成绩名次比其总成绩名次靠后
C.考生丙的成绩名次在这$37$位考生中更靠前的科目是《申论》
D.考生戊的成绩名次比其总成绩名次更靠前的科目是《行测》

答案： 9.BC　解析:由题图可知，考生甲的《行测》成绩名次比乙的差，故A错误,由题图可知，考生丁的《行测》成绩名次比其总成绩名次靠后，故B正确;在这37位考生中，总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的《申论》成绩排名更靠前,故C正确;戊的成绩名次比其总成绩名次更靠前的科目是《申论》,故D错误.

10. [2025·江苏徐州高二检测][多选题]某地区随机抽取了$8$对母女的身高数据，如下表：

下列说法正确的有(ABD)

A.$8$个成对样本数据正相关
B.成对样本数据变量$x$和变量$y$的样本相关系数$r$约为$0.963$
C.用平均值$\overline{x}$和$\overline{y}$为零点$(\overline{x},\overline{y})$，平移后的成对样本数据$(x_1-\overline{x},y_1-\overline{y})$，$(x_2-\overline{x},y_2-\overline{y})$，$·s$，$(x_8-\overline{x},y_8-\overline{y})$与原始成对样本数据相关程度不相同
D.用样本相关系数$r$可以估计总体两个变量的相关系数

答案： 10.ABD解析:由成对样本数据可得$\bar{x} = (154+157+·s+163) ÷ 8 = 159.25$，$\bar{y} = (155+156+·s+166) ÷ 8 = 161$，$\sum_{i = 1}^{8} x_{i}^{2}-8\bar{x}^{2} = 59.5$，$\sum_{i = 1}^{8} y_{i}^{2}-8\bar{y}^{2} = 116$，$\sum_{i = 1}^{8} x_{i}y_{i}-8\bar{x}\bar{y} = 80$，
则$r = \frac{\sum_{i = 1}^{8} x_{i}y_{i}-8\bar{x}\bar{y}}{\sqrt{(\sum_{i = 1}^{8} x_{i}^{2}-8\bar{x}^{2})(\sum_{i = 1}^{8} y_{i}^{2}-8\bar{y}^{2})}} = \frac{80}{\sqrt{59.5 × 116}} \approx 0.963$，B正确;
由$r \approx 0.963＞0$，得8个成对样本数据正相关，A正确;
对选项C，在同一平面直角坐标系中平移后的成对样本数据所对应的散点图与原始的成对样本数据所对应的散点图形状完全一致，故相关程度完全相同，C错误;
根据统计学思想，D正确.

11. 如图8-1-8所示，有$5$组数据：$A(1,3)$，$B(2,4)$，$C(3,8)$，$D(7,10)$，$E(10,12)$，去掉C组数据后，剩下的$4$组数据的样本相关系数最大.

答案： 11.C解析:仔细观察散点图可知，点A,B,D,E在一条直线附近，而C点明显偏离此直线上，由此可知，去掉C组数据后,剩下的4组数据的样本相关系数最大.

12. 某县为了响应国家号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积$x$与相应的管理时间$y$的关系如下表所示：

并调查了某村$300$名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：

(1)做出散点图，判断土地使用面积$x$与管理时间$y$是否线性相关，并根据样本相关系数$r$说明相关关系的强弱.(若$\vert r \vert\geqslant 0.75$，则认为两个变量有很强的线性相关性.$r$值精确到$0.001$)
(2)若以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，且每位村民参与管理的意愿互不影响，则从该县村民中任选$3$人，记选到不愿意参与管理的女性村民的人数为$X$，求$X$的分布列及数学期望.
参考公式：$r = \frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n}(x_i - \overline{x})^2\sum_{i = 1}^{n}(y_i - \overline{y})^2}}$.
参考数据：$\overline{y} = 16$，$\sum_{i = 1}^{5}(y_i - \overline{y})^2 = 206$，$\sqrt{515} \approx 22.7$.

答案：
12.解:
(1)散点图如图D - 8 - 4所示.

由散点图可知,管理时间y与土地使用面积x线性相关.
依题意,得$\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3$，$\bar{y} = 16$，$\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y}) = (-2) × (-8)+(-1) × (-5)+0 × (-2)+1 × 8+2 × 7 = 43$，$\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-\bar{x})^{2} = (-2)^{2}+(-1)^{2}+0^{2}+1^{2}+2^{2} = 10$，$\sum_{i = 1}^{5}(y_{i}-\bar{y})^{2} = 206$，
则$r = \frac{\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-\bar{x})^{2}\sum_{i = 1}^{5}(y_{i}-\bar{y})^{2}}} = \frac{43}{\sqrt{10 × 206}} = \frac{43}{2\sqrt{515}} \approx \frac{43}{45.4} \approx 0.947$
因为$0.947＞0.75$，所以管理时间y与土地使用面积x线性相关性较强.
(2)由题知，调查的300名村民中不愿意参与管理的女性村民人数为$300-(140+40+60) = 60$，从该县中任选1人，选到不愿意参与管理的女性村民的概率$p = \frac{60}{300} = \frac{1}{5}$.
(方法1)由题意得,X可取0,1,2,3,
$P(X = 0) = C_{3}^{0} × (\frac{4}{5})^{3} = \frac{64}{125}$，
$P(X = 1) = C_{3}^{1} × \frac{1}{5} × (\frac{4}{5})^{2} = \frac{48}{125}$，
$P(X = 2) = C_{3}^{2} × (\frac{1}{5})^{2} × \frac{4}{5} = \frac{12}{125}$，
$P(X = 3) = C_{3}^{3} × (\frac{1}{5})^{3} = \frac{1}{125}$，
因此X的分布列为
X　　　0　　　1　　　2　　　3
P　　$\frac{64}{125}$　　$\frac{48}{125}$　　$\frac{12}{125}$　　$\frac{1}{125}$
$E(X) = 0 × \frac{64}{125}+1 × \frac{48}{125}+2 × \frac{12}{125}+3 × \frac{1}{125} = \frac{3}{5}$.
(方法2)$X \sim B(3,\frac{1}{5})$，$P(X = k) = C_{3}^{k} × (\frac{1}{5})^{k} × (\frac{4}{5})^{3 - k}$，$k = 0,1,2,3$.
$E(X) = np = 3 × \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$.