《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

1. [2025·济南高二检测]下列两个变量之间的关系是相关关系的是(D)

A.正方体的面积与棱长
B.单位圆中圆心角的度数和所对弧长
C.学生的学籍号与学生的数学成绩
D.日照时间与水稻的亩产量

答案： 1.D　解析:选项A,B中两个变量之间是确定的函数关系，不是相关关系;选项C中学生的学籍号与学生的数学成绩是不相关的;选项D中日照时间与水稻的亩产量是相关的.

2. 某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：

根据表中数据，下列说法正确的是(A)

A.利润率与人均销售额成正相关关系
B.利润率与人均销售额成负相关关系
C.利润率与人均销售额成正比例函数关系
D.利润率与人均销售额成反比例函数关系

答案： 2.A　解析:由统计表可得利润率与人均销售额不是正比例关系，也不是反比例关系,排除C和D;利润率与人均销售额成正相关关系，A正确，B错误.

3. [2025·江苏镇江高二检测]已知变量$x$和$y$满足关系$y$=$2x + 1$，变量$y$与$z$负相关. 下列结论正确的是(C)

A.$x$与$y$负相关，$x$与$z$负相关
B.$x$与$y$负相关，$x$与$z$正相关
C.$x$与$y$正相关，$x$与$z$负相关
D.$x$与$y$正相关，$x$与$z$正相关

答案： 3.C　解析:因为变量x和y满足关系y = 2x+1,2＞0,所以x和y正相关.又因为y与z负相关,所以x与z负相关.

4. [2025·西安高二检测]给定$y$与$x$的一组成对样本数据，求得样本相关系数$r = -0.890$，则(C)

A.$y$与$x$非线性相关
B.$y$与$x$正线性相关
C.$y$与$x$负线性相关
D.以上都不对

答案： 4.C　解析:因为r=−0.890＜0,所以y 与x负线性相关.

5. 在一次试验中，测得$(x,y)$的四组值分别为$(1,2)$，$(2,0)$，$(4,-4)$，$(-1,6)$，则$y$与$x$的样本相关系数为(B)

A.$\frac{1}{2}$
B.$-1$
C.$0$
D.$-\frac{1}{2}$

答案：
5.B　解析:(方法1)由题可知$\bar{x} = \frac{1}{4} × (1+2+4-1) = 1.5$，$\bar{y} = \frac{1}{4} × (2+0-4+6) = 1$，$\sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2} = 22$，$\sum_{i=1}^{4} y_{i}^{2} = 56$，$\sum_{i=1}^{4} x_{i}y_{i} = -20$，样本相关系数$r = \frac{-20-4 × 1.5 × 1}{\sqrt{(22-4 × 1.5^{2}) × (56-4 × 1^{2})}} = -1$.
(方法2)画出数据的散点图,如图D - 8 - 2所示，四个点均在直线y = -2x+4上，可知两个随机变量的样本相关系数为 -1.

(方法3)因为过点(1,2),(2,0)的直线的斜率$k = \frac{2-0}{1-2} = -2$，所以过点(1,2)，(2,0)的直线的方程为$y = -2(x-2)$，即$y = 4-2x$，经检验，点(4,-4),(-1,6)都在直线$y = 4-2x$上，所以y与x的样本相关系数为 -1.

6. 在一组样本数据$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，$·s$，$(x_n,y_n)(n \geqslant 2,x_1$，$x_2$，$·s x_n$不全相等)的散点图中，若所有样本点$(x_i,y_i)(i = 1,2,·s,n)$都在直线$y = -\frac{1}{3}x + 2$上，则这组样本数据的样本相关系数为(A)

A.$-1$
B.$0$
C.$-\frac{1}{3}$
D.$1$

答案： 6.A解析:因为样本点$(x_{i},y_{i})(i = 1,2,·s,n)$都在直线$y = -\frac{1}{3}x+2$上，所以这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值．又所有样本点$(x_{i},y_{i})(i = 1,2,·s,n)$都在一条直线上，所以$\vert r\vert = 1$，所以样本相关系数$r = -1$.

7. [2025·青岛高二检测][多选题]对某高三学生在连续$9$次数学测试中的成绩(单位.分)进行统计得到如图8-1-6所示的散点图.下列关于这位同学的数学成绩的分析中，正确的有(ABD)

A.该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高
B.该同学在这连续$9$次测试中的最高分与最低分的差超过$40$分
C.该同学的数学成绩与测试次号之间没有相关关系
D.该同学的数学成绩与测试次号之间具有线性相关性，且为正相关

答案： 7.ABD解析:散点图从左向右看整体上呈上升趋势，所以该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高，A正确;该同学在这连续9次测试中的最高分大于130分，最低分小于90分，它们的差超过40分，B正确;该同学的数学成绩与测试次号之间具有比较明显的线性相关性,且为正相关,C不正确,D正确.

8. [2025·南昌高二检测]$5$个学生的数学和物理成绩如下表：
试用散点图和样本相关系数$r$判断它们是否有线性相关关系；若有，是正相关还是负相关？

答案：
8.解:(散点图法)涉及两个变量:数学成绩与物理成绩，可以以数学成绩为自变量，考察因变量物理成绩的变化趋势.以x轴表示数学成绩,y轴表示物理成绩，可得相应的散点图，如图D - 8 - 3所示.

由散点图可见，两者之间具有线性相关关系且是正相关.
(样本相关系数法)设x为数学成绩,y 为物理成绩,经计算得$\bar{x} = 70$，$\bar{y} = 66$，$\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 24750$，$\sum_{i = 1}^{5} y_{i}^{2} = 21820$，$\sum_{i = 1}^{5} x_{i}y_{i} = 23190$.
$\therefore r = \frac{\sum_{i = 1}^{5} x_{i}y_{i}-5\bar{x}\bar{y}}{\sqrt{(\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2}-5\bar{x}^{2})(\sum_{i = 1}^{5} y_{i}^{2}-5\bar{y}^{2})}} = \frac{23190 - 5 × 70 × 66}{\sqrt{(24750 - 5 × 70^{2}) × (21820 - 5 × 66^{2})}} = 0.9＞0$
$\therefore$两变量具有线性相关关系且是正相关.