《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例10 (1)$91^{92}$除以100的余数是几?
(2)求证：$3^{2n + 2}-8n - 9(n\in N_+)$能被64整除.

答案：
(1)
解：
$91^{92} = (100 - 9)^{92}$
$= C_{92}^{0} × 100^{92} - C_{92}^{1} × 100^{91} × 9 + C_{92}^{2} × 100^{90} × 9^{2} - ·s - C_{92}^{91} × 100 × 9^{91} + 9^{92}$，
前92项均能被100整除，只需求$9^{92}$除以100的余数，
$9^{92} = (10 - 1)^{92}$
$= C_{92}^{0} × 10^{92} - C_{92}^{1} × 10^{91} + C_{92}^{2} × 10^{90} - ·s + C_{92}^{90} × 10^{2} - C_{92}^{91} × 10 + 1$
$= 100 × (C_{92}^{0} × 10^{90} - C_{92}^{1} × 10^{89} + C_{92}^{2} × 10^{88} - ·s - 92) + 81$，
所以$91^{92}$除以100的余数为81。
或
$91^{92} = (90 + 1)^{92}$
$= C_{92}^{0} × 90^{92} + C_{92}^{1} × 90^{91} + ·s + C_{92}^{91} × 90 + 1$，
前91项均能被100整除，只需求末两项和除以100的余数，
$C_{92}^{91} × 90 + 1 = 8281 = 82 × 100 + 81 + (1- 1× 0)$（此处1-1×0仅为展示计算余数时无影响，实际直接为8281-8200），
所以$91^{92}$除以100的余数为81。
(2)
证明：
$3^{2n + 2} - 8n - 9 = 9^{n + 1} - 8n - 9$
$= (1 + 8)^{n + 1} - 8n - 9$
$= C_{n + 1}^{0} + C_{n + 1}^{1} × 8 + C_{n + 1}^{2} × 8^{2} + C_{n + 1}^{3} × 8^{3} + ·s + C_{n + 1}^{n + 1} × 8^{n + 1} - 8n - 9$
$= 1 + 8(n + 1) + C_{n + 1}^{2} × 8^{2} + C_{n + 1}^{3} × 8^{3} + ·s + C_{n + 1}^{n + 1} × 8^{n + 1} - 8n - 9$
$= C_{n + 1}^{2} × 8^{2} + C_{n + 1}^{3} × 8^{3} + ·s + C_{n + 1}^{n + 1} × 8^{n + 1}$
$= 8^{2} × (C_{n + 1}^{2} + C_{n + 1}^{3} × 8 + ·s + C_{n + 1}^{n + 1} × 8^{n - 1})$，
因为$C_{n + 1}^{2} + C_{n + 1}^{3} × 8 + ·s + C_{n + 1}^{n + 1} × 8^{n - 1}$是整数，
所以$3^{2n + 2} - 8n - 9$能被64整除。

3 利用二项式定理证明不等式
例11 求证：$2＜\left(1+\frac{1}{n}\right)^n＜3(n\in N^*,n\geq2)$.

答案： 证明 因为$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = 1 + C_n^1\frac{1}{n} + C_n^2\frac{1}{n^2}+·s + C_n^n\frac{1}{n^n}$，各项均是正数，且$n\in N^*$，
$n\geq2$，所以$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n＞1 + C_n^1\frac{1}{n}=2$.
$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = 1 + 1+\frac{1}{2!}·\frac{n - 1}{n}+\frac{1}{3!}·\frac{(n - 1)(n - 2)}{n^2}+·s+\frac{1}{n!}·\frac{(n - 1)(n - 2)×·s×2×1}{n^{n - 1}}$
$＜1 + 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+·s+\frac{1}{2^{n - 1}}$
$=1+\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}$
$=3-\frac{1}{2^{n - 1}}＜3$.
综上，可证得$2＜\left(1+\frac{1}{n}\right)^n＜3(n\in N^*,n\geq2)$.

例12 在$(2x - 1)^4$的展开式中含$x^3$项的系数为(D)
A.4
B.$-4$
C.32
D.$-32$

答案： 例12 D