《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例5 3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，现已经有使用这种技术打印而成的零件.该技术应用十分广泛，预计在未来会有广阔的发展空间.某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10个零件，度量其内径(单位：$\mu m$)，数据如下：
97 98 102 97 105 107 113 114 109 108
(1)计算题中数据的平均值$\mu$与标准差$\sigma$.
(2)假设这台3D打印设备打印出的零件内径$Z$服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$.该团队到企业安装调试后，试打了5个零件，度量其内径(单位：$\mu m$)分别为86，95，103，109，118.试问此打印设备是否需要进一步调试？为什么？

答案： 解：
(1)$\mu = 105$，$\sigma = 6$。
(2)需要进一步调试.理由：如果机器正常工作，则$Z\sim N(105,6^2)$，$P(87\leq Z\leq123)\approx0.9973$，$86\notin[87,123]$，根据$3\sigma$原则，设备异常，需进一步调试。

例6 为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某公司开展植树活动.为提高职工的积极性，活动期间将设置抽奖环节，具体方案为：根据植树的棵数可以选择在甲箱或乙箱内摸奖，每箱内各有除颜色外完全相同的10个球，甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中$a$个红球、$b$个黄球、5个黑球$(a,b\in N^*)$，乙箱内有6个红球、4个黄球.若在甲箱内摸球，则每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，摸得黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金；若在乙箱内摸球，则每次摸出两个球后放回原箱，两球均为红球奖150元，否则没有奖金.
(1)据统计，每人的植树棵数$X$服从正态分布$N(15,25)$，现有1000位植树者，请估计植树的棵数$X$在区间$(10,25)$内的人数(结果四舍五入取整数)；
(2)根据植树的棵数，某职工可选择以下两种方案摸奖，方案一：三次甲箱内摸奖机会；方案二：两次乙箱内摸奖机会.请根据奖金的数学期望分析该职工如何选择摸奖方案.

答案： 解：
(1)$\mu = 15$，$\sigma = 5$，$P(10＜X＜25)\approx0.8186$，人数约为$819$。
(2)方案一期望$3E(Y_1)=15a+75$；方案二期望$100$。当$a=1$时，$90＜100$，选方案二；当$a=2,3,4$时，期望大于$100$，选方案一。