《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

考题再现 3 [2021·全国甲卷]将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有(C)

A.60 种
B.120 种
C.240 种
D.480 种

答案： 3.C 解析：其中1个项目分配2名志愿者，另外3个项目各分配1名志愿者，故应先从5名志愿者中选出2名为一组，然后全排列．由题意得，不同的分配方案共有C$_{5}^{2}$A$_{4}^{4}$=240种．

考题再现 4 [2021·全国乙卷]将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为(C)

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{4}{5}$

答案： 4.C 解析：将4个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有C$_{5}^{1}$=5种排法；若2个0不相邻，则有C$_{5}^{2}$=10种排法．所以2个0不相邻的概率为$\frac{10}{5+10}$=$\frac{2}{3}$．

考题再现 5 [新高考Ⅱ卷]3 名大学生利用假期到 2 个山村参加扶贫工作，每名大学生只去 1 个村，每个村至少 1 人，则不同的分配方案共有(C)

A.4 种
B.5 种
C.6 种
D.8 种

答案： 5.C 解析：先将3名大学生分成2组，有C$_{3}^{1}$·C$_{2}^{2}$种分法，再分配到2个村，有A$_{2}^{2}$种分法，则不同的分配方案共有C$_{3}^{1}$·C$_{2}^{2}$·A$_{2}^{2}$=6种．

考题再现 6 [全国Ⅰ卷]我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化. 每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，图36-4-3 就是一重卦. 在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有33 个阳爻的概率是(A)

A.$\frac{5}{16}$
B.$\frac{11}{32}$
C.$\frac{21}{32}$
D.$\frac{11}{16}$

答案： 6.A 解析：由题知，每一爻都有2种情况，一重卦的6个爻有2$^{6}$种情况，其中6个爻中恰有3个阳爻的情况有C$_{6}^{3}$种，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为$\frac{C_{6}^{3}}{2^{6}}$=$\frac{5}{16}$．

考题再现 7 [2022·全国乙卷]从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为$\frac{3}{10}$.

答案： 7.$\frac{3}{10}$ 解析：从5名同学中随机选3名的方法数为C$_{5}^{3}$=10，甲、乙都入选的方法数为C$_{3}^{1}$=3，所以甲、乙都入选的概率为$\frac{3}{10}$．

考题再现 8 [全国Ⅱ卷]4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名同学，则不同的安排方法共有36种.

答案： 8.36 解析：因为4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，所以可先把2名同学看作一组，选法有C$_{4}^{2}$=6种．然后就可看成是把3组同学分配到3个小区，分法有A$_{3}^{3}$=6种．根据分步乘法计数原理，可得不同的安排方法共有6×6=36种．

高考试题 7 [2022·新高考Ⅰ卷]$(1-\frac{y}{x})(x + y)^8$的展开式中$x^2y^6$的系数为(用数字作答).

答案： $-28$

高考试题 8 [2025·北京卷]已知$(1 - 2x)^4 = a_0 - 2a_1x + 4a_2x^2 - 8a_3x^3 + 16a_4x^4$，则$a_0 =$；$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 =$.

答案： $1$；$15$

考题再现 9 [全国Ⅲ卷]$(1 + 2x^2)(1 + x)^4$的展开式中$x^3$的系数为(A)

A.12
B.16
C.20
D.24

答案： 9.A 解析：由题意得x$^{3}$的系数为C$_{4}^{3}$+2C$_{4}^{4}$=4+8=12.

考题再现 10 [全国Ⅲ卷]$(x^2+\frac{2}{x})^6$的展开式中$x^4$的系数为(C)

A.10
B.20
C.40
D.80

答案： 10.C 解析：由题可得T$_{k+1}$=C$_{6}^{k}$·$(x^{2})^{5-k}$·$(\frac{2}{x})^{k}$=C$_{6}^{k}$·2$^{k}$·x$^{10-3k}$，令10-3k=4，解得k=2，所以展开式中x$^{4}$的系数为C$_{6}^{2}$×2$^{2}$=40.

考题再现 11 [2021·上海卷]已知二项式$(x + a)^5$的展开式中，$x^2$项的系数为 80，则$a =$2.

答案： 11.2 解析：根据题意可得C$_{5}^{3}$x$^{3}$a$^{3}$=80x$^{2}$，解得a=2.

考题再现 12 [全国Ⅲ卷]$(x^2+\frac{2}{x})^6$的展开式中常数项是240(用数字作答).

答案： 12.240 解析：$(x^{2}+\frac{2}{x})^{6}$的展开式的通项公式为 T$_{k+1}$=C$_{6}^{k}$(x$^{2}$)$^{6-k}$$(\frac{2}{x})^{k}$=C$_{6}^{k}$2$^{k}$x$^{12-3k}$，令12-3k=0，解得k=4，所以常数项为C$_{6}^{4}$2$^{4}$=240.