《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例 4 3 名旅客投宿到一个酒店，酒店只剩下 2 个房间，假设每个房间都超过 3 个床位，则不同的住店方法数为(C)

A.5
B.6
C.8
D.9

答案： C

例 5 现有高一年级四个班的学生共 34 人，其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班分别有 7 人、8 人、9 人、10 人，他们自愿组成数学课外学习小组，若推选两人做小组组长，这两人需来自不同的班级，则有多少种不同的选法？

答案： 431

2−3 324共有____________个不同的正因数.

答案： 2−3　15解析:因为324=22×34,所以324的正因数一定是2°×3,其中a∈{0,1,2},b∈{0,1,2,3,4},要确定一个正因数需分两步:
　第1步,确定a,有3种选法;
第2步,确定b,有5种选法.
　由分步乘法计数原理得，324的正因数个数是3×5=15.

2−4 从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个不同的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有( )
A.30个
B.42个
C.36个
D.35个

答案： 2−4C解析:分两步完成:
　第一步,确定b(b≠0),可取1,2,3,4,5,6,有6种方法;
　第二步,确定a,可取剩余的6个数，有6 种方法.
　由分步乘法计数原理得，共有6×6=
　36个虚数.

2−5(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？
(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军(每个项目只有一个冠军),共有多少种可能的结果？

答案： 2−5　解:
(1)依次确定4名同学的选报项目，第一名同学在三项运动中选择一项，有3种选法，同理，第一=四名同学也都有3种选法.根据分步乘法计数原理,共有3×3×3×3=81种报名方法.(分步标准为人)
(2)依次确定三个项目的冠军，跑步的冠军由这4名同学中的一位获得，因此有4种可能，同理跳高、跳远这两个项目的冠军也各有4种可能，根据分步乘法计数原理,共有4×4×4=64种可能的结果.(分步标准为项目)

3−1 若甲、乙、丙三名学生计划利用寒假从丽江、大理、西双版纳、腾冲任选一个城市旅游，每人彼此独立地选城市游玩，且丽江必须有人去，则不同的选择方法有( )
A.16种
B.18种
C.37种
D.40种

答案： 3−1　C　解析:(方法1直接法)满足题意的不同的选择方法有以下三类:三个人中只有一个人去丽江，有3×32 =27种选择方法;
　三个人中有两个人去丽江，有3×3=9 种选择方法;
　三个人都去丽江，有1种选择方法综上，共有27+9+1=37种不同的选择方法.
　(方法2间接法)三个人去四个景点，有43=64种选择方法;
　没有人去丽江,有33=27种选择方法.所以共有64−27=37种不同的选择方法