《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例7 如图，在杨辉三角中，第$n(n\in N^*)$行中共有个数(含相同的);$n$阶杨辉三角中共有个数.记第$i(i\in N^*)$行中从左到右的第$j(j\in N^*)$个数为$a_j$，则$\{a_j\}$的通项公式为

答案： $(n+1)$；$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$；$a_j=C_{i}^{j-1}$

2-3 若$( x ^ { 2 } + 1 ) ( 4 x + 1 ) ^ { 9 } = a$${ 0 } + a$${ 1 } ( 2 x + 1 ) +a$${ 2 } ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } + ·s + a$${ 1 0 } ( 2 x + 1 ) ^ { 1 0 }$，则$a$${ 1 } + a$${ 2 } + ·s +a$${ 1 0 }$等于(D)

A.2
B.1
C.$\frac { 5 } { 4 }$
D.$- \frac { 1 } { 4 }$

答案： 2-3 D 解析：令$x = 0$，则$a_0 + a_1 + a_2+·s + a_{10} = (0 + 1)×(0 + 1)^8 = 1$，
令$x = -\frac{1}{2}$，
则$a_0 = (\frac{1}{4} + 1)×(-2 + 1)^8 = \frac{5}{4}$，
所以$a_1 + a_2+·s + a_{10} = 1 - \frac{5}{4} = -\frac{1}{4}$。

3-1 将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表.从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，⋯，第$n$次全行的数都为1的是第$2^n - 1$行，第61行中1的个数是32.

答案： 3-1 $2^n - 1$ 32 解析：观察可得全行
都为1的分别为第1行，第3行，第7行，
第15行，$·s$，所以第$n$次全行的数都
为1的是第$(2^n - 1)$行；
因为$n = 6\Rightarrow2^6 - 1 = 63$，
所以第63行共有64个1，递推知第62
行共有32个1，第61行共有32个1。

例8 已知在$( 2 x - 1 ) ^ { n }$的展开式中，奇次项的系数之和比偶次项的系数之和小$3^8$，求$C$${ n } ^ { 1 } + C$${ n } ^ { 2 } + C$${ n } ^ { 3 } + ·s + C$${ n } ^ { n }$的值.

答案： 设$(2x - 1)^{n} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ·s + a_{n}x^{n}$，
设奇次项的系数之和为$A$，偶次项的系数之和为$B$，
则$A = a_{1} + a_{3} + a_{5} + ·s$，
$B = a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} + ·s$，
由已知，$B - A = 3^{8}$，
令$x = - 1$，
得$a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + ·s + ( - 1)^{n}a_{n} = ( - 3)^{n}$，
即$(a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} + ·s) - (a_{1} + a_{3} + a_{5} + ·s) = ( - 3)^{n}$，
即$B - A = ( - 3)^{n}$，
所以$( - 3)^{n} = 3^{8} = ( - 3)^{8}$，
所以$n = 8$，
由二项式系数的性质可得$C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + C_{n}^{3} + ·s + C_{n}^{n} = 2^{n} - C_{n}^{0} = 2^{8} - 1 = 255$。

1-1 在$( 1 + x ) ^ { 5 }$的展开式中，奇数项的系数和为16(用数字表示结果).

答案： 1-1 16 解析：由题意，$(1 + x)^5 = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + a_5x^5$，
令$x = 1$，
则$a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 2^5 = 32$，
令$x = -1$，
则$a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5 = 0$，
两式相加，可得$2(a_0 + a_2 + a_4) = 32$，
所以$a_0 + a_2 + a_4 = 16$。