《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例9 已知$( a ^ { 2 } + 1 ) ^ { n }$的展开式中各项系数之和等于$\left( \frac { 1 6 } { 5 } x ^ { 2 } + \frac { 1 } { \sqrt { x } } \right) ^ { 5 }$的展开式的常数项，若$( a ^ { 2 } + 1 ) ^ { n }$的展开式中二项式系数最大的项等于54，求$a$的值.

答案： 解：
设$\left( \frac { 16 } { 5 } x ^ { 2 } + \frac { 1 } { \sqrt { x } } \right) ^ { 5 }$的展开式的通项为$T_{k + 1} = C_{5}^{k} \left( \frac { 16 } { 5 } x ^ { 2 } \right) ^ { 5 - k } · \left( \frac { 1 } { \sqrt { x } } \right) ^ { k } = \left( \frac { 16 } { 5 } \right) ^ { 5 - k } C_{5}^{k} x ^ { \frac { 20 - 5k } { 2 } }$，
令$\frac { 20 - 5k } { 2 } = 0$，得$k = 4$，
所以常数项为$T_{5} = C_{5}^{4} · \frac{16}{5} = 16$。
因为$( a ^ { 2 } + 1 ) ^ { n }$展开式中各项系数之和等于$2 ^ { n }$，
所以由$2 ^ { n } = 16$，得$n = 4$。
由二项式系数的性质知，$( a ^ { 2 } + 1 ) ^ { 4 }$的展开式中二项式系数最大的项是$T_{3}$，
由$C_{4}^{2}a^{4} = 54$，
解得$a = \pm \sqrt { 3 }$。

2-1 二项式$\left( a x + \frac { b } { x } \right) ^ { n } ( a ＞ 0 , b ＞ 0 , n \in N ^ { * } )$的展开式中，设“所有二项式系数和”为$A$，“所有项的系数和”为$B$，“常数项”为$C$，若$A=B=256,C=70$，则展开式中含$x^{-2}$的项为$56x^2$

答案： 2-1 $56x^2$ 解析：由题意可得$A = 2^n$，
$B = (a + b)^n$，
通项为$T_{k + 1} = C_n^k· a^{n - k}· b^k· x^{n - 2k}$
令$n = 2k$，可得$C = C_{2k}^k· a^k· b^k$。
因为$A = B = 256$，$C = 70$，
所以$2^n = (a + b)^n = 256$，$C_{2k}^k· a^k· b^k = 70$，且$n = 2k$，
所以$n = 8$，$k = 4$，
所以$a + b = 2$，$a^4· b^4 = 1$，
所以$a = b = 1$，
所以$T_{k + 1} = C_8^k· x^{8 - 2k}$。
令$8 - 2k = -2$，求得$k = 5$，
所以展开式中含$x^2$的项为
$C_8^5· x^2 = 56x^2$。

例1 [全国I卷]设$m$为正整数，$(x+y)^{2m}$展开式的二项式系数的最大值为$a$，$(x+y)^{2m+1}$展开式的二项式系数的最大值为$b$.若$13a=7b$，则$m=$()

A.5
B.6
C.7
D.8

答案： B

例2 [2022·北京卷]若$(2x-1)^4=a_x^4+a_x^3+a_2x^2+a_3x+a_4$，则$a_0+a_2+a_4=$()

A.40
B.41
C.-40
D.-41

答案： B

教材第38页复习参考题6第1(7)题
$(1+x)^{2n}$的展开式中，系数最大的项是第项.

答案： $n+1$

1-1 [湖北卷]已知$(1+x)^n$的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(D)

A.$2^{12}$
B.$2^{11}$
C.$2^{10}$
D.$2^9$

答案： 1-1 D 解析：由题意知，$C_n^2 = C_n^7$，
$n = 3 + 7 = 10$。
故奇数项的二项式系数和为$2^{10 - 1} = 2^9$。

2-1 [全国II卷]$(a+x)(1+x)^4$的展开式中$x$的奇数次幂项的系数之和为32，则$a=$3.

答案： 2-1 3 解析：(方法1)直接将$(a + x)(1 + x)^4$展开得$x^5 + (a + 4)x^4 + (6 + 4a)x^3 + (4 + 6a)x^2 + (1 + 4a)x + a$，
由题意得$1 + (6 + 4a) + (1 + 4a) = 32$，
解得$a = 3$。
(方法2)$(1 + x)^4$展开式的第$k + 1$项为
$T_{k + 1} = C_4^kx^k$，
由题意可知，$a(C_4^1 + C_4^3) + C_4^0 + C_4^2 + C_4^4 = 32$，
解得$a = 3$。
(方法3)设$(a + x)(1 + x)^4 = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + ax^5$，则$a_1 + a_3 + a_5 = 32$。
令$x = 1$，得
$(a + 1)×2^4 = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$；①
令$x = -1$，得$0 = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5$ ②
由① - ②，得$16(a + 1) = 2(a_1 + a_3 + a_5) = 2×32$，所以$a = 3$。