《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

11. [2025·安徽黄山高二检测][多选题]某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，记事件$A$为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”，事件$B$为“学生丙第一个出场”，则(BC)

A.事件$A$包含80个样本点

B.$P(A)=\frac{13}{20}$
C.$P(AB)=\frac{3}{20}$
D.$P(B|A)=\frac{3}{26}$

答案： 11.BC 解析：事件A包含$A_{4}^{4}$+$C_{3}^{1}C_{1}^{1}A_{3}^{3}$=78(个)样本点，故A错误；P(A)=$\frac{A_{4}^{4}+C_{3}^{1}C_{1}^{1}A_{3}^{3}}{A_{5}^{3}}$=$\frac{78}{120}$=$\frac{13}{20}$，故B正确；P(AB)=$\frac{C_{1}^{1}A_{3}^{3}}{A_{5}^{3}}$=$\frac{3}{20}$，故C正确；P(B|A)=$\frac{P(AB)}{P(A)}$=$\frac{\frac{3}{20}}{\frac{13}{20}}$=$\frac{3}{13}$，故D错误.

12. [2025·济南高二检测][多选题]将3枚骰子各掷一次，记事件$A$表示“三个点数都不相同”，事件$B$表示“至少出现一个3点”，则(CD)

A.$P(B|A)=\frac{91}{216}$
B.$P(A|B)=\frac{5}{18}$
C.$P(A|B)=\frac{60}{91}$
D.$P(B|A)=\frac{1}{2}$

答案： 12.CD 解析：P(A)=$\frac{6×5×4}{6^{3}}$=$\frac{5}{9}$，P(B)=1 - $\frac{5^{3}}{6^{3}}$=$\frac{91}{216}$，P(AB)=$\frac{3×5×4}{6^{3}}$=$\frac{5}{18}$，所以P(A|B)=$\frac{P(AB)}{P(B)}$=$\frac{\frac{5}{18}}{\frac{91}{216}}$=$\frac{60}{91}$，P(B|A)=$\frac{P(AB)}{P(A)}$=$\frac{\frac{5}{18}}{\frac{5}{9}}$=$\frac{1}{2}$.

13. 已知甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为0.25,0.20，两地同时下雨的概率为0.12，则(B)

A.甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为0.52
B.乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率为0.60
C.甲地为雨天时，乙地不为雨天的概率为0.32
D.乙地不为雨天时，甲地也不为雨天的概率为0.60

答案：
13.B 解析：设“一年中甲地下雨”为事件A，“一年中乙地下雨”为事件B，则“两地同时下雨”为事件AB.由题意可得P(A)=0.25，P(B)=0.20，P(AB)=0.12，P($\overline {A}$)=0.75，P($\overline {B}$)=0.80，如图D - 7 - 1.则P($\overline {A}$B)=0.20 - 0.12 = 0.08，P(A$\overline {B}$)=1 - 0.13 - 0.12 - 0.08 = 0.67，对于A，P(B|A)=$\frac{P(AB)}{P(A)}$=$\frac{0.12}{0.25}$=0.48，故A错误；对于B，P(A|B)=$\frac{P(AB)}{P(B)}$=$\frac{0.12}{0.20}$=0.60，故B正确；对于C，P($\overline {B}$|A)=$\frac{P(A\overline {B})}{P(A)}$=$\frac{0.13}{0.25}$=0.52，故C错误；对于D，P($\overline {A}$|$\overline {B}$)=$\frac{P(\overline {A}\overline {B})}{P(\overline {B})}$=$\frac{0.67}{0.80}$=0.8375，故D错误.

14. 甲、乙、丙、丁4名志愿者被随机派往①②③三个社区进行社区服务，每个社区至少派1名志愿者，$A$表示事件“志愿者甲被派往①社区”；$B$表示事件“志愿者乙被派往①社区”；$C$表示事件“志愿者丙被派往②社区”，则(B)

A.事件$A,B$同时发生的概率为$\frac{1}{9}$
B.事件$A$发生的条件下$B$发生的概率为$\frac{1}{6}$
C.事件$A$与$B$相互独立
D.事件$A$与$C$为互斥事件

答案： 14.B 解析：由题意，每个社区至少派1名志愿者的所有可能结果有$\frac {C_{4}^{2}C_{2}^{1}C_{1}^{1}}{A_{2}^{2}}$×$A_{3}^{3}$=36(个)，事件A所包含的样本点有$A_{3}^{3}$+$C_{2}^{2}A_{2}^{2}$=12(个)，所以P(A)=$\frac{1}{3}$.同理可得P(B)=$\frac{1}{3}$，P(C)=$\frac{1}{3}$.则P(AB)=$\frac {A_{2}^{2}}{36}$=$\frac{1}{18}$≠P(A)P(B)，所以A，B不相互独立，所以选项A，C错误.又P(B|A)=$\frac{P(AB)}{P(A)}$=$\frac{\frac{1}{18}}{\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{6}$，所以选项B正确.例如，事件D：甲、乙被派到①社区，丙被派到②社区，丁被派到③社区，事件E：甲被派到①社区，乙、丙被派到②社区，丁被派到③社区，此时事件A与事件C同时发生，所以A与C不互斥，所以选项D错误.

15. [多选题]甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球(球除颜色外完全相同).先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球.$A_1$表示事件“从甲罐取出的球是红球”，$A_2$表示事件“从甲罐取出的球是白球”，$B$表示事件“从乙罐取出的球是红球”.则(AB)

A.$A_1,A_2$为对立事件
B.$P(B|A_1)=\frac{4}{11}$
C.$P(B)=\frac{3}{10}$
D.$P(B|A_1)+P(B|A_2)=1$

答案： 15.AB 解析：因为甲罐中只有红球和白球，所以A正确；当$A_{1}$发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为P(B|$A_{1}$)=$\frac{4}{11}$，故B正确；当$A_{2}$发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为P(B|$A_{2}$)=$\frac{3}{11}$，故P(B|$A_{1}$)+P(B|$A_{2}$)=$\frac{4}{11}$+$\frac{3}{11}$=$\frac{7}{11}$，故D不正确；P(B)=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{11}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{11}$=$\frac{7}{22}$，故C不正确.

16. 某技术部门招工有四项考核，已知每个应聘者能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6,0.8,0.9,0.65，各项考核是相互独立的，每个应聘者都要经过这四项考核，只要有一项考核不通过就被淘汰.
(1)求应聘者被淘汰的概率；
(2)求应聘者通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率.

答案： 16.解：
(1)记事件B = “应聘者最终通过考核”，$A_{i}$(i = 1,2,3,4)分别表示应聘者通过第一、二、三、四项考核，则P($A_{1}$)=0.6，P($A_{2}$)=0.8，P($A_{3}$)=0.9，P($A_{4}$)=0.65.因为各项考核是相互独立的，所以P(B)=P($A_{1}$)P($A_{2}$)P($A_{3}$)P($A_{4}$)=0.6×0.8×0.9×0.65 = 0.2808，因此应聘者被淘汰的概率为1 - P(B)=1 - 0.2808 = 0.7192.
(2)在通过第一、三项考核的情况下，考核全部通过的概率为P(B|$A_{1}A_{3}$)=$\frac{P(B)}{P(A_{1}A_{3})}$=$\frac{0.2808}{0.6×0.9}$ = 0.52，所以通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率为1 - P(B|$A_{1}A_{3}$)=1 - 0.52 = 0.48.