《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

【例3】已知随机变量$X$的分布列为

(1)求$E(X),D(X),\sigma(X)$.
(2)设$Y=2X+3$,求$E(Y),D(Y)$.

答案：
解
(1)$E(X)=(-1)×\frac{1}{2}+0×\frac{1}{3}+1×\frac{1}{6}=-\frac{1}{3}$,
$D(X)=(-1+\frac{1}{3})^2×\frac{1}{2}+(0+\frac{1}{3})^2×\frac{1}{3}+(1+\frac{1}{3})^2×\frac{1}{6}=\frac{5}{9},\sigma(X)=\frac{\sqrt{5}}{3}$

(2)(方法1性质法)$E(Y)=2E(X)+3=2×(-\frac{1}{3})+3=\frac{7}{3}$,
$D(Y)=4D(X)=4×\frac{5}{9}=\frac{20}{9}$.
(方法2定义法)随机变量$Y$的分布列为

$E(Y)=1×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{3}+5×\frac{1}{6}=\frac{7}{3}$,
$D(Y)=(1-\frac{7}{3})^2×\frac{1}{2}+(3-\frac{7}{3})^2×\frac{1}{3}+(5-\frac{7}{3})^2×\frac{1}{6}=\frac{20}{9}$.

【例4】已知随机变量$X$的分布列如下表,若$E(X)=1,D(2X+1)=2$,则$p=$()

答案： 由分布列得：
1. 期望计算：$E(X)=0·\left(\frac{1}{2}-p\right)+a·\frac{1}{2}+2· p=\frac{a}{2}+2p$，已知$E(X)=1$，则$\frac{a}{2}+2p=1$①。
2. 方差性质：$D(2X+1)=4D(X)=2$，故$D(X)=\frac{1}{2}$。
3. 方差计算：$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$，其中$E(X^2)=0^2·\left(\frac{1}{2}-p\right)+a^2·\frac{1}{2}+2^2· p=\frac{a^2}{2}+4p$，则$D(X)=\frac{a^2}{2}+4p-1^2=\frac{a^2}{2}+4p-1$。由$D(X)=\frac{1}{2}$得$\frac{a^2}{2}+4p=\frac{3}{2}$②。
4. 联立方程：由①得$a=2(1-2p)$，代入②：$\frac{[2(1-2p)]^2}{2}+4p=\frac{3}{2}$，化简得$8p^2-4p+\frac{1}{2}=0$，即$16p^2-8p+1=0$，解得$p=\frac{1}{4}$。
$\frac{1}{4}$

1-2不透明袋中装有质地、大小相同的4个红球,$m$个白球,若从中不放回地取出2个球,在第一个取出的球是红球的前提下,第二个取出的球是白球的概率为$\frac{5}{8}$.
(1)求白球的个数$m$.
(2)若有放回地取出2个球,记取出的红球个数为$X$,求$E(X),D(X)$.

答案： 1-2 解：
(1)由题意，得$\frac{m}{m+3}=\frac{5}{8}$，
解得$m=5$.
(2)由题意，随机变量$X$可能为0,1,2，
则$P(X=0)=\frac{5}{9}×\frac{5}{9}=\frac{25}{81}$，
$P(X=1)=\frac{4}{9}×\frac{5}{9}×2=\frac{40}{81}$，
$P(X=2)=\frac{4}{9}×\frac{4}{9}=\frac{16}{81}$，
所以随机变量$X$的分布列为
$X$ 0 1 2
$P$ $\frac{25}{81}$ $\frac{40}{81}$ $\frac{16}{81}$
则$E(X)=0×\frac{25}{81}+1×\frac{40}{81}+2×\frac{16}{81}=\frac{8}{9}$，
$D(X)=(0-\frac{8}{9})^{2}×\frac{25}{81}+(1-\frac{8}{9})^{2}×\frac{40}{81}+(2-\frac{8}{9})^{2}×\frac{16}{81}=\frac{40}{81}$.

2-1已知随机变量$X$的分布列为

设$Y=2X+3$,则$D(Y)$等于(A)

A.$\frac{8}{3}$
B.$\frac{5}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{3}$

答案： 2-1 A 解析：由$X$的分布列得
$E(X)=0×\frac{1}{3}+1×\frac{1}{3}+2×\frac{1}{3}=1$，
$D(X)=(0-1)^{2}×\frac{1}{3}+(1-1)^{2}×\frac{1}{3}+(2-1)^{2}×\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.
因为$Y=2X+3$，
所以$D(Y)=4D(X)=\frac{8}{3}$

2-2已知随机变量$X$的分布列为

(1)求$D(X)$.
(2)设随机变量$Y=2X-E(X)$,求$D(Y)$.

答案： 2-2 解：
(1)$E(X)=0×\frac{1}{3}+10×\frac{2}{5}+20×\frac{1}{15}+50×\frac{2}{15}+60×\frac{1}{15}=16$，
则$D(X)=(0-16)^{2}×\frac{1}{3}+(10-16)^{2}×\frac{2}{5}+(20-16)^{2}×\frac{1}{15}+(50-16)^{2}×\frac{2}{15}+(60-16)^{2}×\frac{1}{15}=384$.
(2)因为$Y=2X-E(X)=2X-16$，
所以$D(Y)=D(2X-16)=2^{2}D(X)=4×384=1536$.