《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例7 某市实行的居民阶梯用电量如表所示，居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).

该市随机抽取$10$户同一个月的用电情况，得到统计表如下：

以上表中抽到的$10$户的月用电量作为样本估计全市居民的月用电量，现从全市中抽取$10$户，若抽到$k$户的月用电量为第一阶梯的可能性最大，求$k$的值.

答案： 解：由样本数据，10户中第一阶梯用电量（≤210 kW·h）的户数为6，故估计每户为第一阶梯的概率$ p=\frac{6}{10}=\frac{3}{5} $。
设从全市抽取10户中月用电量为第一阶梯的户数为$ X $，则$ X\sim B\left(10,\frac{3}{5}\right) $，其概率分布为$ P(X=k)=C_{10}^{k}\left(\frac{3}{5}\right)^{k}\left(\frac{2}{5}\right)^{10-k} $，$ k=0,1,·s,10 $。
计算比值$ \frac{P(X=k)}{P(X=k-1)}=\frac{C_{10}^{k}\left(\frac{3}{5}\right)^{k}\left(\frac{2}{5}\right)^{10-k}}{C_{10}^{k-1}\left(\frac{3}{5}\right)^{k-1}\left(\frac{2}{5}\right)^{10-(k-1)}}=\frac{3(11-k)}{2k} $。
当$ \frac{3(11-k)}{2k}＞1 $，即$ k＜\frac{33}{5}=6.6 $时，$ P(X=k)＞P(X=k-1) $；当$ k＞\frac{33}{5}=6.6 $时，$ P(X=k)＜P(X=k-1) $。
故$ P(X=k) $在$ k=0,1,·s,6 $时递增，在$ k=7,·s,10 $时递减，因此当$ k=6 $时，$ P(X=k) $最大。
即$ k $的值为6。

5-1 若$X\sim B(20,\frac{1}{3})$，则$P(X = k)(0\leq k\leq20,k\in\mathbf{N})$取得最大值时，$k =$6或7.

答案： 6或7 解析：由题意知$X$服从二项分布，
所以$P(X=k)=C_{20}^{k}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}\left(1-\frac{1}{3}\right)^{20-k}=$
$C_{20}^{k}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}\left(\frac{2}{3}\right)^{20-k}$，$0\leq k\leq20$且$k\in N$。
由不等式$\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}\leq1(0\leq k\leq19$
且$k\in N)$，得$\frac{20-k}{k+1}×\frac{1}{2}\leq1$，
解得$k\geq6$。
所以当$k\geq6$时，$P(X=k)\geq P(X=k+1)$；当$k＜6$时，$P(X=k+1)＞P(X=k)$。
因为当且仅当$k=6$时，$P(X=k+1)=P(X=k)$，
所以当$k=6$或$k=7$时，$P(X=k)$取得最大值.