《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

10. 某糕点房推出一类新品蛋糕,该蛋糕每个的成本价为4元,售价为8元.受保质期的影响,当天没有销售完的部分只能销毁.经过长期的调研,糕点房统计了一下该新品的日需求量.现将近一个月(30天)的需求量展示如下：

(1)从这30天中任取2天,求这2天的日需求量均为40个的概率.
(2)以表中对应的频率作为概率,根据分布列求出该糕点房一天制作35个该类蛋糕时,对应利润的期望为$\frac{320}{3}$元.
现有员工建议扩大生产至一天45个,记生产45个时对应的利润为$Y$元,试求$Y$的分布列及期望$E(Y)$,并以此判断此建议该不该被采纳.

答案： 10.解：
(1)从这$30$天中任取$2$天，样本点总数$n = C_{30}^{2}$，这$2$天的日需求量均为$40$个包含的样本点个数$m = C_{20}^{2}$，所以这$2$天的日需求量均为$40$个的概率$P=\frac{C_{20}^{2}}{C_{30}^{2}}=\frac{3}{29}$。
(2)由题意得，$Y$的可能取值为$-20,60$，$140,180$，$P(Y = -20)=\frac{1}{6}$，$P(Y = 60)=\frac{1}{3}$，$P(Y = 140)=\frac{1}{3}$，$P(Y = 180)=\frac{1}{6}$，所以$Y$的分布列为$Y$ -20 60 140 180 $P$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{6}$ $E(Y)= -20 × \frac{1}{6}+60 × \frac{1}{3}+140 × \frac{1}{3}+180 × \frac{1}{6}=\frac{280}{3}$因为该糕点房一天制作$35$个该类蛋糕时，对应利润的期望为$\frac{320}{3}$元，且$\frac{280}{3}＜\frac{320}{3}$，所以此建议不该被采纳.

11. 甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为$\frac{2}{3}$,乙在每局中获胜的概率为$\frac{1}{3}$,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数$X$的期望$E(X)$为(B)

A.$\frac{241}{81}$
B.$\frac{266}{81}$
C.$\frac{274}{81}$
D.$\frac{670}{243}$

答案： 11.B 解析：依题意知，$X$的所有可能取值为$2,4,6$.设每两局比赛为一轮，若$X = 2$，则该轮结束时比赛停止的概率$P(X = 2)=(\frac{2}{3})^{2}+(\frac{1}{3})^{2}=\frac{5}{9}$；若$X = 4$，则甲、乙在第一轮中必是各得一分，比赛还将继续，此时比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有$P(X = 4)=(1 - \frac{5}{9}) × \frac{5}{9}=\frac{20}{81}$；若$X = 6$，即前两轮比赛不分输赢，继续比第三轮，则$P(X = 6)=(\frac{4}{9})^{2}=\frac{16}{81}$故$E(X)=2 × \frac{5}{9}+4 × \frac{20}{81}+6 × \frac{16}{81}=\frac{266}{81}$。

12. [2025·郑州高二检测][多选题]已知排球发球考试规则如下：每位考生最多可发球三次,若发球成功,则停止发球,否则一直发到三次为止.某考生一次发球成功的概率为$p(0＜p＜1)$,设他在本次考试中的发球次数为$X$,若$X$的均值$E(X)＞1.75$,则$p$的取值可以为(AB)

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： 12.AB 解析：由题意可知，$P(X = 1)=p$，$P(X = 2)=(1 - p)p$，$P(X = 3)=(1 - p)^{2}$，则$E(X)=p+2(1 - p)p+3(1 - p)^{2}=p^{2}-3p + 3$.由$E(X)＞1.75$可知$p^{2}-3p + 3＞1.75$，即$4p^{2}-12p + 5＞0$，解得$p＜\frac{1}{2}$或$p＞\frac{5}{2}$。又$p \in (0,1)$，故$0＜p＜\frac{1}{2}$.故选AB.

13. [2025·苏州高二检测][多选题]甲盒中装有2个黑球、1个白球,乙盒中装有1个黑球、2个白球,同时从甲、乙两盒中随机取出$i(i = 1,2)$个球交换,分别记交换后甲、乙两个盒子中黑球个数的数学期望为$E_1(X),E_1(Y)$,则下列结论正确的有(ACD)

A.$E_1(X)+E_1(Y)=3$
B.$E_2(X)＞E_2(Y)$
C.$E_1(X)＞E_1(Y)$
D.$E_1(X)=E_1(Y)$

答案： 13.ACD 解析：由题意可知，用$X$表示交换后甲盒子中的黑球个数，$Y$表示交换后乙盒子中的黑球个数，当$i = 1$时，$P(X = 1)=P(Y = 2)=\frac{C_{2}^{1} · C_{1}^{1}}{C_{3}^{1} · C_{3}^{1}}=\frac{4}{9}$，$P(X = 2)=P(Y = 1)=\frac{C_{2}^{1} · C_{2}^{1}}{C_{3}^{1} · C_{3}^{1}} × 2=\frac{4}{9}$，$P(X = 3)=P(Y = 0)=\frac{C_{1}^{1} · C_{1}^{1}}{C_{3}^{1} · C_{3}^{1}}=\frac{1}{9}$，因此$E_{2}(X)=1 × \frac{4}{9}+2 × \frac{4}{9}+3 × \frac{1}{9}=\frac{5}{3}$，$E_{2}(Y)=2 × \frac{4}{9}+1 × \frac{4}{9}+0 × \frac{1}{9}=\frac{4}{3}$，所以$E_{2}(X)+E_{2}(Y)=3$，$E_{2}(X)＞E_{2}(Y)$，故A，C正确.当$i = 2$时，$P(X = 0)=P(Y = 3)=\frac{C_{2}^{2} · C_{2}^{2}}{C_{3}^{2} · C_{3}^{2}}=\frac{1}{9}$，$P(X = 1)=P(Y = 2)=\frac{C_{2}^{2} · C_{1}^{1}}{C_{3}^{2} · C_{3}^{2}}+\frac{C_{2}^{2} · C_{2}^{2} · C_{1}^{1} · C_{2}^{1}}{C_{3}^{2} · C_{3}^{2} · C_{3}^{1}}=\frac{4}{9}$，$P(X = 2)=P(Y = 1)=\frac{C_{2}^{1} · C_{1}^{1}}{C_{3}^{2} · C_{3}^{2}}=\frac{4}{9}$，因此$E_{2}(X)=0 × \frac{1}{9}+1 × \frac{4}{9}+2 × \frac{4}{9}=\frac{4}{3}$，$E_{2}(Y)=3 × \frac{1}{9}+2 × \frac{4}{9}+1 × \frac{4}{9}=\frac{5}{3}$，所以$E_{2}(X)＜E_{2}(Y)$，$E_{2}(X)=E_{2}(Y)$，故B错误，D正确.故选ACD.

14. [2025·武汉高二期末]甲、乙、丙三人参加某次招聘会，甲应聘成功的概率为$\frac{4}{9}$,乙、丙应聘成功的概率均为$\frac{t}{3}(0＜t＜3)$,且三人是否应聘成功是相互独立的.若甲、乙、丙三人都应聘成功的概率是$\frac{16}{81}$,设$X$表示甲、乙两人中应聘成功的人数,则$X$的均值是$\frac{10}{9}$.

答案： 14.$\frac{10}{9}$ 解析：甲、乙、丙三人都应聘成功的概率是$\frac{4}{9} × \frac{t}{3} × \frac{t}{3}=\frac{16}{81}$，解得$t = 2$(负值舍去)，所以乙应聘成功的概率为$\frac{2}{3}$.$X$的所有可能的取值为$0,1,2$，可得$P(X = 2)=\frac{4}{9} × \frac{2}{3}=\frac{8}{27}$，$P(X = 1)=\frac{4}{9} × (1 - \frac{2}{3})+(1 - \frac{4}{9}) × \frac{2}{3}=\frac{14}{27}$，$P(X = 0)=(1 - \frac{4}{9}) × (1 - \frac{2}{3})=\frac{5}{27}$，所以$E(X)=2 × \frac{8}{27}+1 × \frac{14}{27}+0 × \frac{5}{27}=\frac{10}{9}$。

15. 某校数学兴趣小组,在研究某离散型随机变量的分布列时,发现离散型随机变量$X$的取值与其概率的函数关系为$P(X = k)=\frac{1}{m}C_{10}^k(k = 0,1,2,·s,10$;$m$为参数),则这个随机变量$X$的均值$E(X)=$5.

答案： 15.5 解析：由离散型随机变量分布列的性质可得，$\frac{1}{m}(C_{10}^{0}+\frac{1}{m}C_{10}^{1}+\frac{1}{m}C_{10}^{2}+·s+\frac{1}{m}C_{10}^{10})=1$，则$\frac{1}{m}(C_{10}^{0}+C_{10}^{1}+C_{10}^{2}+·s+C_{10}^{10})=1$，即$\frac{1}{m} · 2^{10}=1$，解得$m = 2^{10}$所以$E(X)=\frac{1}{2^{10}}(0 × C_{10}^{0}+1 × C_{10}^{1}+·s+9 × C_{10}^{9}+10 × C_{10}^{10})$.①因为$C_{r}^{10}=C_{10 - r}^{10}$，$r = 0,1,2$，$·s$，$10$，所以$E(X)=\frac{1}{2^{10}}(0 × C_{10}^{0}+1 × C_{10}^{9}+·s+9 × C_{10}^{1}+10 × C_{10}^{0})$.②由①+②得，$2E(X)=\frac{1}{2^{10}}[(0 + 10) × C_{10}^{0}+(1 + 9) × C_{10}^{1}+·s+(10 + 0) × C_{10}^{10}]$，$2E(X)=\frac{1}{2^{10}}[10 × (C_{10}^{0}+C_{10}^{1}+·s+C_{10}^{10})]$$=\frac{1}{2^{10}} × 10 × 2^{10}=10$，所以$E(X)=5$。

16. 某人在如图7-3-1所示的直角边长为4m的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量$Y$(单位:kg)与它的“相近”作物株数$X$之间的关系如下表所示：

这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1m.
(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率；
(2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与均值.

答案： 16.解：
(1)所种作物总株数$N = 1 + 2+3 + 4 + 5 = 15$，其中三角形地块内部的作物株数为$3$，边界上的作物株数为$12$.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有$C_{3}^{1}C_{12}^{1}=36$(种)，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有$3 + 3 + 2 = 8$(种).故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为$P=\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$。
(2)因为$P(Y = 51)=P(X = 1)$，$P(Y = 48)=P(X = 2)$，$P(Y = 45)=P(X = 3)$，$P(Y = 42)=P(X = 4)$，所以需要先求出随机变量$X$的分布列，即要先求出$P(X = k)(k = 1,2,3,4)$，记$n_{k}$为“相近”作物恰有$k$株的作物株数$(k = 1,2,3,4)$，则$n_{1}=2$，$n_{2}=4$，$n_{3}=6$，$n_{4}=3$.由$P(X = k)=\frac{n_{k}}{N}$，得$P(X = 1)=\frac{2}{15}$$P(X = 2)=\frac{4}{15}$，$P(X = 3)=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$，$P(X = 4)=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$。所以$X$的分布列为$X$ 1 2 3 4 $P$ $\frac{2}{15}$ $\frac{4}{15}$ $\frac{2}{5}$ $\frac{1}{5}$故所求$Y$的分布列为$Y$ 51 48 45 42 $P$ $\frac{2}{15}$ $\frac{4}{15}$ $\frac{2}{5}$ $\frac{1}{5}$因此所求年收获量$Y$的均值为$E(Y)=51 × \frac{2}{15}+48 × \frac{4}{15}+45 × \frac{2}{5}+42 × \frac{1}{5}=46(kg)$。