《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

10. 假设某种疾病在所有人群中的感染率是$0.1\%$，医院现有的技术对于该疾病检测的准确率为$99\%$，即已知患病情况下，$99\%$的可能性可以检查出阳性，正常人$99\%$的可能性检查为正常.如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算，检测结果为阳性的概率为$0.01098$，请你用贝叶斯公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为(C)

A.$0.1\%$
B.$8\%$
C.$9\%$
D.$99\%$

答案： 10.C 解析：记$A$=“一个人得病”，$B$=“检测结果为阳性”，则$P(A)=0.1\%$，$P(B|A)=99\%$，$P(B)=0.01098$，所以$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} \approx 9\%$，所以在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率约为$9\%$。

11. [多选题]甲箱中有$5$个红球、$2$个白球和$3$个黑球，乙箱中有$4$个红球、$3$个白球和$3$个黑球(球除颜色外完全相同).先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，用$A_1$，$A_2$，$A_3$分别表示从甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，用$B$表示从乙箱中取出的球是红球的事件，则(BD)

A.$P(B)=\frac{2}{5}$
B.$P(B|A_1)=\frac{5}{11}$
C.$A_1$与$B$相互独立
D.$A_1$，$A_2$，$A_3$两两互斥

答案： 11.BD 解析：因为$P(A_1)=\frac{1}{2}$，$P(A_2)=\frac{1}{2}$，$P(A_3)=\frac{3}{10}$，$P(B|A_1)=\frac{5}{11}$，$P(B|A_2)=\frac{4}{11}$，$P(B|A_3)=\frac{4}{11}$，所以$P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2) · P(B|A_2)+P(A_3)P(B|A_3)=\frac{1}{2} × \frac{5}{11}+\frac{1}{5} × \frac{4}{11}+\frac{3}{10} × \frac{4}{11}=\frac{9}{22}$，A错误，B正确；因为$P(A_1B)=P(A_1)P(B|A_1)=\frac{1}{2} × \frac{5}{11}=\frac{5}{22}$，$P(A_1)P(B)=\frac{1}{2} × \frac{9}{22}=\frac{9}{44}$，$P(A_1B) \neq P(A_1)P(B)$，所以事件$B$与事件$A_1$不相互独立，C错误；因为$P(A_1 \cap A_2)=P(A_1 \cap A_3)=P(A_2 \cap A_3)=0$，所以$A_1,A_2,A_3$两两互斥，D正确.

12. 通信渠道中可传输的字符为$AAAA$，$BBBB$，$CCCC$三者之一，传输三者的概率分别为$0.3$，$0.4$，$0.3$.由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为$0.6$，收到其他字符的概率为$0.2$，假定字符前后是否被歪曲互不影响，若收到的字符为$ABCA$，则传输的字符是$AAAA$的概率为0.5625.

答案： 12.0.5625 解析：设$B$=“收到的字符是$ABCA$”，$A_1$=“传输的字符为$AAAA$”，$A_2$=“传输的字符为$BBBB$”，$A_3$=“传输的字符为$CCCC$”，根据题意有$P(A_1)=0.3$，$P(A_2)=0.4$，$P(A_3)=0.3$，$P(B|A_1)=0.6×0.2×0.2×0.6=0.0144$，$P(B|A_2)=0.2×0.6×0.2×0.2=0.0048$，$P(B|A_3)=0.2×0.2×0.6×0.2=0.0048$。根据贝叶斯公式可得$P(A_1|B)=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{\sum_{i=1}^{3}P(B|A_i)P(A_i)}=\frac{0.0144×0.3}{0.0144×0.3+0.0048×0.4+0.0048×0.3}=0.5625$。

13. 小李从家到公司上班共有$L_1$，$L_2$，$L_3$三条路可以直达(如图7-1-7)，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于路的远近不同，选择每条路的概率如下：$P(L_1)=0.5$，$P(L_2)=0.3$，$P(L_3)=0.2$.每天这三条路不拥堵的概率分别为$P(C_1)=0.2$，$P(C_2)=0.4$，$P(C_3)=0.7$.
假设遇到拥堵会迟到，求：
(1)小李从家到公司不迟到的概率是多少？
(2)小李到达公司未迟到，选择$L_1$的概率是多少？

答案： 13.解：
(1)不迟到对应着不拥堵，设$C$=“到公司不迟到”，因为$P(L_1)=0.5$，$P(L_2)=0.3$，$P(L_3)=0.2$，$P(C_1)=0.2$，$P(C_2)=0.4$，$P(C_3)=0.7$，所以由全概率公式，得$P(C)=P(L_1)P(C|L_1)+P(L_2)P(C|L_2)+P(L_3)P(C|L_3)=P(L_1)P(C_1)+P(L_2) · P(C_2)+P(L_3)P(C_3)=0.5×0.2+0.3×0.4+0.2×0.7=0.36$，所以小李从家到公司不迟到的概率为$0.36$。
(2)由
(1)知小李到达公司未迟到的概率$P(C)=0.36$，由贝叶斯公式，得$P(L_1|C)=\frac{P(C|L_1)P(L_1)}{P(C)}=\frac{0.2×0.5}{0.36}=\frac{5}{18}$，所以小李到达公司未迟到，选择$L_1$的概率为$\frac{5}{18}$。

14. [2024·山东潍坊高二检测]如图7-1-8，有三个外形相同的箱子，分别编号为$1$，$2$，$3$，其中$1$号箱装有$1$个黑球和$3$个白球，$2$号箱装有$2$个黑球和$2$个白球，$3$号箱装有$3$个黑球，这些球除颜色外完全相同.小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件$A_i(i = 1,2,3)$表示“球取自第$i$号箱”，事件$B$表示“取得黑球”.
(1)分别求$P(BA_1)$，$P(BA_2)$，$P(BA_3)$和$P(B)$的值.
(2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大.

答案： 14.解：
(1)由已知可得$P(A_1)=P(A_2)=\frac{1}{3}$，$P(B|A_1)=\frac{1}{4}$，$P(B|A_2)=\frac{1}{2}$，$P(B|A_3)=1$，所以$P(BA_1)=P(A_1)P(B|A_1)=\frac{1}{3} × \frac{1}{4}=\frac{1}{12}$，$P(BA_2)=P(A_2)P(B|A_2)=\frac{1}{3} × \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$，$P(BA_3)=P(A_3)P(B|A_3)=\frac{1}{3} × 1=\frac{1}{3}$，所以$P(B)=P(BA_1)+P(BA_2)+P(BA_3)=\frac{1}{12}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{7}{12}$。
(2)$P(A_1|B)=\frac{P(BA_1)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{12}}{\frac{7}{12}}=\frac{1}{7}$，$P(A_2|B)=\frac{P(BA_2)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{7}{12}}=\frac{2}{7}$，$P(A_3|B)=\frac{P(BA_3)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{7}{12}}=\frac{4}{7}$，因为$P(A_3|B)$最大，所以若小明取出的球是黑球，该黑球来自$3$号箱的概率最大。