《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例1 [2021·新高考Ⅱ卷]某物理量的测量结果服从正态分布$N(10,\sigma^2)$，则下列结论中不正确的是()

A.$\sigma$越小，该物理量一次测量结果落在$(9.9,10.1)$内的概率越大
B.该物理量一次测量结果大于10的概率是0.5
C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D.该物理量一次测量结果落在$(9.9,10.2)$内的概率与落在$(10,10.3)$内的概率相等

答案： D

教材第87页习题7.5 第2题
某市高二年级男生的身高$X$(单位：cm)近似服从正态分布$N(170,5^2)$，随机选择一名本市高二年级的男生，求下列事件的概率：(1)$\{165＜X\leq175\}$；
(2)$\{X\leq165\}$；(3)$\{X＞175\}$.

答案： 已知身高$X$服从正态分布$N(170,5^{2})$，则正态分布的均值$\mu = 170$，标准差$\sigma = 5$。
(1)
根据正态分布的性质，若$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则$P(\mu - \sigma＜X\leq\mu + \sigma)\approx 0.6826$，$P(\mu - 2\sigma＜X\leq\mu + 2\sigma)\approx 0.9544$。
$165 = 170 - 5=\mu - \sigma$，$175 = 170 + 5=\mu + \sigma$，所以$P(165＜X\leq175)=P(\mu - \sigma＜X\leq\mu + \sigma)\approx 0.6826$。
(2)
因为正态分布曲线关于$x = \mu$对称，所以$P(X\leq165)+P(165＜X\leq170)=0.5$。
又因为$P(165＜X\leq175)\approx 0.6826$，根据正态分布的对称性可知$P(165＜X\leq170)=\frac{0.6826}{2}=0.3413$。
则$P(X\leq165)=0.5 - P(165＜X\leq170)=0.5 - 0.3413 = 0.1587$。
(3)
同理，$P(X＞175)=0.5 - P(165＜X\leq175)÷2 = 0.5 - 0.3413 = 0.1587$。
综上，答案依次为：
(1)$0.6826$；
(2)$0.1587$；
(3)$0.1587$。

1-1 [2022·新高考Ⅱ卷]已知随机变量$X$服从正态分布$N(2,\sigma^2)$，若$P(2＜X\leq2.5)=0.36$，则$P(X＞2.5)=$0.14.

答案： 1-1 0.14 解析：由题意可知$P(X\gt2)= 0.5$，所以$P(X\gt2.5)=P(X\gt2)-P(2\lt X\leqslant2.5)= 0.5 - 0.36 = 0.14$。