《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

2. 排列数方程或不等式
例2 (1)已知$A_{n}^{2}=56$，那么$n=$8.
(2)若不等式$A_{8}^{x}＜6A_{8}^{x - 2}$成立，则$x=$8.

答案：
(1)8
(2)8

3. 排列数等式的证明
例3 求证：$A_{n + 1}^{m}-A_{n}^{m}=mA_{n}^{m - 1}$.

答案： 证明：因为$A_{n + 1}^{m}-A_{n}^{m}=\frac{(n + 1)!}{(n + 1 - m)!}-\frac{n!}{(n - m)!}$
$=\frac{n!}{(n - m)!}(\frac{n + 1}{n + 1 - m}-1)=\frac{n!}{(n - m)!}·\frac{m}{n + 1 - m}$
$=m·\frac{n!}{(n + 1 - m)!}=m·\frac{n!}{[n-(m - 1)]!}$
$=mA_{n}^{m - 1}$，
所以$A_{n + 1}^{m}-A_{n}^{m}=mA_{n}^{m - 1}$.

例4 (1)有$5$本不同的书，从中选$3$本送给$3$名同学，每人各$1$本，共有多少种不同的送法？
(2)有$5$种不同的书，要买$3$本送给$3$名同学，每人各$1$本，共有多少种不同的送法？

答案：
(1)60种
(2)125种

1 - 3 $(x - 3)(x - 4)(x - 5)·s(x - 12)(x - 13)(x\in N^{*},x＞13)$可表示为(B)
A.$A_{x - 3}^{10}$
B.$A_{x - 3}^{11}$
C.$A_{x - 13}^{10}$
D.$A_{x - 13}^{11}$

答案： B 解析：乘积中，最大因数为(x−3)，最小因数为(x−13)，共(x−3)−(x−13)+1=11个正整数，因此可表示为Ax−311​.

1 - 4 [多选题]满足不等式$A_{n - 1}^{2}-n＜7$的$n$的值为(BC)
A.$5$
B.$4$
C.$3$
D.$2$

答案： @@BC 解析：因为$A_{n - 1}^{2} = (n - 1) · (n - 2) = n^2 - 3n + 2$，所以原不等式可化为$n^2 - 4n - 5 ＜ 0$，解得$-1 ＜ n ＜ 5$. 又$n - 1 \geq 2$，$n \in N^*$，所以$3 \leq n ＜ 5$，$n \in N^*$，则$n = 3$或$n = 4$，故选BC.

1 - 5 解方程：$A_{2x + 1}^{4}=140A_{x}^{3}$.

答案： @@解：因为$\begin{cases} 2x + 1 \geq 4, \\ x \geq 3, \end{cases}$所以$x \geq 3$.
由$A_{2x + 1}^{4} = 140A_{x}^{3}$，得$(2x + 1)2x(2x - 1) · (2x - 2) = 140x(x - 1)(x - 2)$.
化简得$4x^2 - 35x + 69 = 0$，
又$x \in N^*$，解得$x_1 = 3$，$x_2 = \frac{23}{4}$（舍去）.
所以原方程的解为$x = 3$.

1 - 6 求证：$A_{n}^{m}+mA_{n - 1}^{m - 1}+m(m - 1)· A_{n - 1}^{m - 2}=A_{n + 1}^{m}(n,m\in N^{*}$，且$n\geq m＞2)$

答案： @@证明：左边$= \frac{n!}{(n - m)!} + \frac{m · (n - 1)!}{[(n - 1) - (m - 1)]!} + \frac{m(m - 1) · (n - 1)!}{[(n - 1) - (m - 2)]!} = \frac{n!}{(n - m)!} + \frac{m · (n - 1)!}{(n - m)!} + \frac{m(m - 1) · (n - 1)!}{(n + 1 - m)!} = \frac{(n + m) · (n - 1)!}{(n - m)!} + \frac{m(m - 1) · (n - 1)!}{(n + 1 - m)!} = \frac{[(n + 1 - m)(n + m) + m(m - 1)] · (n - 1)!}{(n + 1 - m)!} = \frac{(n + 1)n · (n - 1)!}{(n + 1 - m)!} = \frac{(n + 1)!}{(n + 1 - m)!} = A_{n + 1}^{m + 1} =$右边.
所以原等式成立.