《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例1 (1)乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,如果要派5名队员参加比赛,3名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有种.(用数字作答)
(2)1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端,则不同的排法有种.

答案：
(1) 先安排3名主力队员在第一、三、五位置，有$A_3^3$种排法；再从其余7名队员中选2名安排在第二、四位置，有$A_7^2$种排法。由分步乘法计数原理，不同的出场安排共有$A_3^3 × A_7^2 = 6 × 42 = 252$种。
(2) 方法1：老师在中间三个位置选一个，有$A_3^1$种选法，4名同学在其余4个位置全排列，有$A_4^4$种排法，共有$A_3^1 × A_4^4 = 3 × 24 = 72$种。
方法2：从4名同学中选2名站两端，有$A_4^2$种排法，剩余2名同学和老师在中间3个位置全排列，有$A_3^3$种排法，共有$A_4^2 × A_3^3 = 12 × 6 = 72$种。
答案
(1)252
(2)72

例2 甲、乙、丙、丁、戊五个身高互不相同的人排成一排,若要求甲、乙两人相邻,丙、丁两人也相邻,则不同的排法有()

A.24种
B.48种
C.96种
D.144种

答案： A

例3 七位同学并排站成一行,如果其中的甲、乙两人不能相邻,那么不同的排法种数是()

A.1440
B.3600
C.4820
D.4800

答案： B

例4 (1)五位科学家和五名中学生站成一排照相,中学生与科学家间隔排列的站法有种.
(2)4名男生与3名女生站成一排照相,则男生和女生互相间隔排列的方法有种.

答案：
(1) 先排科学家，有$A_5^5$种排法，科学家排好后形成6个空位，中学生需间隔排列，只能排在科学家之间的5个空位或两端的2个空位，但要间隔排列，当科学家排好后，中学生只能在科学家的左侧或右侧整体排列，即有2种情况，中学生全排列有$A_5^5$种排法，所以共有$2A_5^5A_5^5=2×120×120=28800$种站法。
(2) 先排男生，有$A_4^4$种排法，4名男生排好后形成5个空位，女生要互相间隔排列，只能排在男生中间的3个空位，女生全排列有$A_3^3$种排法，所以共有$A_4^4A_3^3=24×6=144$种方法。
答案
(1)28800
(2)144