《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例 4 已知随机变量$X$的分布列如下：

则$P(0 \leq X ＜ 3) =$.

答案： 0.6

例 5 一个盒子里装有 8 张卡片，其中红色卡片 4 张，编号分别为 1,2,3，4；白色卡片 4 张，编号分别为 2,3,4,5.从盒子中任取 2 张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).
(1)求取出的 2 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率；
(2)在取出的 2 张卡片中，编号最大值设为$X$，求随机变量$X$的分布列.

答案：
(1) $P=1-\frac{C_6^2}{C_8^2}=1-\frac{15}{28}=\frac{13}{28}$
(2) X的可能取值为2,3,4,5.
$P(X=2)=\frac{C_3^2}{C_8^2}=\frac{3}{28}$，
$P(X=3)=\frac{C_5^2 - C_3^2}{C_8^2}=\frac{10 - 3}{28}=\frac{1}{4}$，
$P(X=4)=\frac{C_7^2 - C_5^2}{C_8^2}=\frac{21 - 10}{28}=\frac{11}{28}$，
$P(X=5)=\frac{C_8^2 - C_7^2}{C_8^2}=\frac{28 - 21}{28}=\frac{1}{4}$.
X的分布列为：
| X | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|-----|-----|------|-----|
| P | 3/28| 1/4 | 11/28| 1/4 |

例 6 为了提高人们出门旅游的兴趣，某旅行社组织了 14 人参加“旅游常识”知识竞赛，每人回答 3 个问题，答对题目个数及对应人数统计结果如下表：

根据上表信息解答以下问题：
(1)从 14 人中任选 3 人，求 3 人答对题目个数之和为 6 的概率；
(2)从 14 人中任选 2 人，用$X$表示这 2 人答对题目个数之和，求随机变量$X$的分布列.

答案：
(1)记事件$A$为“3人答对题目个数之和为6”。
由题意，答对题目个数为0,1,2,3的人数分别为3,2,5,4（分别记为$A$组、$B$组、$C$组、$D$组）。
3人答对题目之和为6的情况有：
①3人都来自$C$组（2题）：$C_{5}^{3}$；
②1人来自$B$组（1题）、1人来自$C$组（2题）、1人来自$D$组（3题）：$C_{2}^{1}C_{5}^{1}C_{4}^{1}$；
③1人来自$A$组（0题）、2人来自$D$组（3题）：$C_{3}^{1}C_{4}^{2}$。
则$P(A)=\frac{C_{5}^{3}+C_{2}^{1}C_{5}^{1}C_{4}^{1}+C_{3}^{1}C_{4}^{2}}{C_{14}^{3}}$。
计算分子：$C_{5}^{3}=10$，$C_{2}^{1}C_{5}^{1}C_{4}^{1}=2×5×4=40$，$C_{3}^{1}C_{4}^{2}=3×6=18$，总和为$10+40+18=68$。
分母$C_{14}^{3}=364$，故$P(A)=\frac{68}{364}=\frac{17}{91}$。
即3人答对题目个数之和为6的概率为$\frac{17}{91}$。
(2)随机变量$X$的可能取值为0,1,2,3,4,5,6。
$P(X=0)=\frac{C_{3}^{2}}{C_{14}^{2}}=\frac{3}{91}$；
$P(X=1)=\frac{C_{3}^{1}C_{2}^{1}}{C_{14}^{2}}=\frac{6}{91}$；
$P(X=2)=\frac{C_{2}^{2}+C_{3}^{1}C_{5}^{1}}{C_{14}^{2}}=\frac{1+15}{91}=\frac{16}{91}$；
$P(X=3)=\frac{C_{3}^{1}C_{4}^{1}+C_{2}^{1}C_{5}^{1}}{C_{14}^{2}}=\frac{12+10}{91}=\frac{22}{91}$；
$P(X=4)=\frac{C_{5}^{2}+C_{2}^{1}C_{4}^{1}}{C_{14}^{2}}=\frac{10+8}{91}=\frac{18}{91}$；
$P(X=5)=\frac{C_{5}^{1}C_{4}^{1}}{C_{14}^{2}}=\frac{20}{91}$；
$P(X=6)=\frac{C_{4}^{2}}{C_{14}^{2}}=\frac{6}{91}$。
$X$的分布列为：
| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|-------|-----|-----|------|------|------|------|-----|
| $P$ | $\frac{3}{91}$ | $\frac{6}{91}$ | $\frac{16}{91}$ | $\frac{22}{91}$ | $\frac{18}{91}$ | $\frac{20}{91}$ | $\frac{6}{91}$ |