《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例13 用$0$，$1$，$2$，$3$，$4$，$5$这六个数字组成无重复数字的整数，求满足下列条件的数各有多少个.
(1)六位奇数；
(2)个位数字不是$5$的六位数.

答案：
(1)288个
(2)504个

4 - 1 用数字$0$，$1$，$2$，$3$可以组成无重复数字的四位偶数有(D)

A.$20$个
B.$16$个
C.$12$个
D.$10$个

答案： D 解析：当个位数字为0时，有$A_{3}^{3}$个；当个位数字为2时，先排最高位有$A_{4}^{1}$种，剩下的有$A_{3}^{2}$种，共有$A_{4}^{1} × A_{3}^{2}$个.所以无重复数字的四位偶数有$A_{3}^{3} + A_{4}^{1} × A_{3}^{2} = 6 + 4 = 10$个.

4 - 2 用数字$0$，$2$，$4$，$7$，$8$，$9$组成无重复数字的六位数，其中大于$420789$的正整数的个数是(C)

A.$479$
B.$180$
C.$455$
D.$456$

答案： C 解析：若十万位大于4，则有$3 × A_{5}^{5} = 360$个；
若十万位等于4，则当万位大于2时，有$3 × A_{4}^{2} = 72$个，
当万位等于2，千位不等于0时，有$3 × A_{3}^{3} = 18$个，
当万位等于2，千位等于0时，有$2 × A_{2}^{2} + 1 = 5$个.
所以一共有$360 + 72 + 18 + 5 = 455$个.

4 - 3 用$1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$，$7$，$8$组成没有重复数字的八位数，要求$1$与$2$相邻，$3$与$4$相邻，而$7$与$8$不相邻，则这样的八位数共有1920个.

答案： 1920 解析：先将1和2捆绑，3和4捆绑，然后与5,6全排列，再将7和8插空，所以所有符合题意的八位数有$A_{2}^{2}A_{2}^{2}A_{4}^{4}A_{5}^{2} = 1920$个.

4 - 4 由$0$，$1$，$2$，$3$，$4$，$5$这六个数字可以组成没有重复数字且能被$5$整除的五位数的个数是(C)

A.$144$
B.$192$
C.$216$
D.$240$

答案： C 解析：因为由0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字且能被5整除的五位数，个位数字只能是0或5，万位不能是0，所以当个位数字是0时，共有$A_{5}^{4} = 120$种情况；
当个位数字是5时，共有$A_{4}^{1}A_{4}^{3} = 96$种情况.
因此，由0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的五位数的个数是$120 + 96 = 216$.

4 - 5 将数字$1$，$1$，$2$，$2$，$3$，$3$，$4$，$4$排成四行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有(A)

A.$216$种
B.$72$种
C.$266$种
D.$274$种

答案： A 解析：由于每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，故第一列数字是1,2,3,4的全排列，共$A_{4}^{4}$种.
现考虑第一列数字的排列为(1,2,3,4)，则第二列数字的排列可以是(2,1,4,3),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(3,1,4,2),(3,4,1,2),(3,4,2,1),(4,1,2,3),(4,3,1,2),(4,3,2,1)，共9种.
由分步乘法计数原理可知，不同的排列方法共有$9A_{4}^{4} = 9 × 24 = 216$种.

例14 解方程：$3A_{8}^{x}=4A_{9}^{x - 1}$.

答案： 解 由$3A_{8}^{x}=4A_{9}^{x - 1}$得$\frac{3×8!}{(8 - x)!}=\frac{4×9!}{(10 - x)!}$，
所以$\frac{3×8!}{(8 - x)!}=\frac{4×9×8!}{(10 - x)(9 - x)·(8 - x)!}$，
$1=\frac{12}{(10 - x)(9 - x)}$，整理得$x^{2}-19x + 78 = 0$，
解得$x_{1}=6$，$x_{2}=13$.
因为$\begin{cases}x\leq8,\\x - 1\leq9,\\x,x - 1\in N^{*},\end{cases}$
所以原方程的解是$x = 6$.