《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

[2025.北京卷]有一道选择题考查了一个知识点.甲、乙两校各随机抽取100人,甲校有80人答对，乙校有75 人答对，每位同学是否答对相互独立，用频率估计概率.
(1)从甲校随机抽取1人,求这个人做对该题目的概率;
(2)从甲、乙两校各随机抽取1人,设X为做对的人数，
求恰有1人做对的概率以及X的数学期望;
(3)若甲校学生掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目，乙校学生掌握这个知识点则有85%的概率做对该题目，未掌握该知识点的学生都是从四个选项里面随机选择一个,设甲校学生掌握该知识点的概率为P,乙校学生掌握该知识点的概率为p2,试比较p,与P2 的大小(结论不要求证明).
解(1)用频率估计概率，所求概率为$\frac{80}{100}$=$\frac{4}{5}$.
(2)从乙校随机抽取1人,这个人做对该题目的概率为$\frac{75}{100}$=$\frac{3}{4}$.
X的所有可能取值为0,1,2，
且P(X=0)=(1−$\frac{4}{5}$×(1−$\frac{3}{4}$)−$\frac{1}{20}$,
P(X=1)=$\frac{4}{5}$×(1−$\frac{3}{4}$)+(1−$\frac{4}{5}$)×$\frac{3}{4}$=$\frac{7}{20}$,
P(X=2)=$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{5}$,
所以E(X)=0×$\frac{1}{20}$+1×$\frac{7}{20}$+2×$\frac{3}{5}$=$\frac{31}{20}$.
故恰有1人做对的概率为$\frac{7}{20}$,X的数学期望为$\frac{31}{20}$.
(3)p1＜P
由全概率公式得1×p1+$\frac{1}{4}$(1−p)=$\frac{4}{5}$,得p1=$\frac{11}{15}$,
0.85×p2+$\frac{1}{4}$(1−p2)=$\frac{3}{4}$,解得p2=$\frac{5}{6}$,所以p＜p2
颦;02;国乙赛]棋手乙丙三手各乙
丙比赛获胜的概率分别为p1,P2,P33,且p3＞P＞P1＞0.记
该棋手连胜两盘的概率为p,则(D)
A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

答案： 1.D 解析：该棋手与甲、乙、丙三位棋手的比赛顺序共有6种可能：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，该棋手连胜两盘，可以是第一、第二盘连胜（此时第三盘胜负均可），或第一盘输但第二、第三盘连胜.
该棋手在第二盘与甲比赛时，$p = p_{2}p_{1} + (1 - p_{2})p_{1}p_{3} + p_{3}p_{1} + (1 - p_{3})p_{1}p_{2} = 2p_{1}(p_{2} + p_{3}) - 2p_{1}p_{2}p_{3}$；
同理，该棋手在第二盘与乙比赛时，$p = 2p_{2}(p_{1} + p_{3}) - 2p_{1}p_{2}p_{3}$；
该棋手在第二盘与丙比赛时，$p = 2p_{3}(p_{1} + p_{2}) - 2p_{1}p_{2}p_{3}$；
显然，由$p_{3} ＞ p_{2} ＞ p_{1} ＞ 0$可知，$p_{1}(p_{2} + p_{3}) ＜ p_{2}(p_{1} + p_{3}) ＜ p_{3}(p_{1} + p_{2})$。
从而该棋手在第二盘与丙比赛时，$p$最大，故正确选项为$D$。

考向离散型随机变量及其分布是高考考查的热点,属必
定位 考内容但离散型随机变量的分布列很少单独考
查，通常与离散型随机变量的均值、方差综合考查，
其中求分布列是解决此类问题的关键题型主要为
解答题，难度中等,
[2024.新课标II卷]某投篮比赛分为两个阶段，每个
参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下:第一阶段
由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该
队被淘汰，比赛成绩为0分;若至少投中1次，则该队
进入第二阶段，第二阶段由该队的另一名队员投篮3
次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛
成绩为第二阶段的得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概
率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互
独立.
(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛，求甲、
乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率，
(2)假设0＜p＜q.
(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最
大,应该由谁参加第一阶段比赛？
(ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，
应该由谁参加第一阶段比赛？
解(1)甲参加第一阶段比赛，记事件A为甲、乙所在队的
比赛成绩不少于5分，事件B为甲、乙所在队的比赛成
绩是0分.
(方法1直接计算所求概率)
分析易得，事件A发生的充要条件是甲参加第一阶段
比赛时,3次投篮至少投中1次，并且乙参加第二阶段
比赛时,3次投篮同样至少投中1次.代入p=0.4,q
=0.5,由各次投中与否相互独立,得P(A)=[1−(1−
0.4)3]×[1−(1−0.5)3]=0.686.
(方法？先求对立事件的概率)
由A与B互为对立事件，则为求P(A),可先计算P(B)
由比赛具体规则知，事件B发生只包含两种可能，第一
种是甲参加第一阶段比赛时,3次投篮都未投中;第二
种是甲参加第一阶段比赛时,3次投篮至少投中1次，
而乙参加第二阶段比赛时，3次投篮都未投中.由互斥
事件的概率加法公式可知
P(B)=(1−0.4)3+[1−(1−0.4)3]×(1−0.5)3=0.314,
故P(A)=1−P(B)=1−0.314=0.686.
(2)设X为甲参加第一阶段比赛时，甲、乙所在队的比赛成绩;Y为乙参加第一阶段比赛时，甲、乙所在队的比赛成绩.
(i)参赛队的比赛成绩为15分，当且仅当参加第一阶段比赛的队员3次投篮至少投中1次，同时参加第二阶段比赛的队员3次投篮全都投中.
由题意得P(X=15)=[1−(1−p)3]g²,
P(Y=15)=[1−(1−q)3]p².
因为0＜p＜q≤1,
故P(X=15)−P(Y=15)=3pq(q−p)(p+q−pq)＞0,所以P(X=15)＞P(Y=15),
所以应该由甲参加第一阶段比赛
(ii)X的所有可能取值为0,5,10,15.因为
P(X=0)=(1−p)3+[1−(1−p)3].(1−q)3,
P(X=5)=[1−(1−p)3].Cq(1−q)²,
P(X=10)=[1−(1−p)3].C²q²(1−q),
P(X=15)=[1−(1−p)3].q²,
所以E(X)=0.P(X=0)+5.P(X=5)+10.P(X =10)+15.P(X=15)
=5.[1−(1−p)3]Cq(1−q)²+10.[1−(1−p)3].C².
q²(1−q)+15.[1−(1−p)3].q²
=5.[1−(1−p)3].[Cq(1−q)²+2C²q²(1−q)+3q²]
=15o[(p−$\frac{3}{2}$)2+$\frac{3}{4}$1.
同理可得E(Y)=15p[q−$\frac{3}{2}$)2+$\frac{3}{4}$1.
因为0＜p＜q≤1,
故p−$\frac{3}{2}$²+$\frac{3}{4}$＞(q−$\frac{3}{2}$)2+$\frac{3}{4}$,E(X)＞E(y),
所以应该由甲参加第一阶段比赛.

答案：
(1)0.686；
(2)(i)甲；(ii)甲