《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例▶ [2022·北京卷第 18 题改编]在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 9.50 m 以上(含 9.50 m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：
甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25.
乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23.
丙：9.85,9.65,9.20,9.16.
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设$X$是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计$X$的分布列.

答案：
解
(1)设$A$=“甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”.
因为比赛成绩达到 9.50 m 以上(含 9.50 m)的同学将获得优秀奖，且甲在以往 10 次比赛的成绩中达到 9.50 m 以上(含 9.50 m)的有 9.80 m，9.70 m,9.55 m,9.54 m，共 4 次，
所以估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率$P(A) = 0.4$.

(2)$X$的所有可能取值为 0,1,2,3.
由
(1)知，甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率$P(A) = 0.4$.
设乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖分别为$B$，$C$，
则$P(B) = \frac{3}{6} = 0.5$，
$P(C) = \frac{2}{4} = 0.5$.
$P(X = 0) = (1 - 0.4) × (1 - 0.5) × (1 - 0.5) = 0.15$，
$P(X = 1) = 0.4 × (1 - 0.5) × (1 - 0.5) + (1 - 0.4) × 0.5 × (1 - 0.5) + (1 - 0.4) × (1 - 0.5) × 0.5 = 0.4$，
$P(X = 2) = 0.4 × 0.5 × (1 - 0.5) + 0.4 × (1 - 0.5) × 0.5 + (1 - 0.4) × 0.5 × 0.5 = 0.35$，
$P(X = 3) = 0.4 × 0.5 × 0.5 = 0.1$，
所以$X$的分布列为

教材第 61 页习题 7.2 第 6 题
某种资格证考试，每位考生一年内最多有 3 次考试机会.一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完 3 次机会.李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为 0.6,0.7,0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求：
(1)李明在一年内参加考试次数$X$的分布列；
(2)李明在一年内领到资格证书的概率.

答案：
(1) 分布列见上述表格；
(2) 0.976.

1-1 [天津卷节选]已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查.
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查，用$X$表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量$X$的分布列.

答案： 1-1 解：
(1)由已知得甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为$3:2:2$，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.
(2)因为随机变量$X$的所有可能取值为0,1,2,3，
所以$P(X = 0) = \frac{C_{3}^{3}}{C_{7}^{3}} = \frac{1}{35}$，
$P(X = 1) = \frac{C_{4}^{2}C_{3}^{1}}{C_{7}^{3}} = \frac{12}{35}$，
$P(X = 2) = \frac{C_{2}^{2}C_{3}^{1}}{C_{7}^{3}} = \frac{18}{35}$，
$P(X = 3) = \frac{C_{4}^{3}}{C_{7}^{3}} = \frac{4}{35}$，
所以随机变量$X$的分布列为
$X$ 0 1 2 3
$P$ $\frac{1}{35}$ $\frac{12}{35}$ $\frac{18}{35}$ $\frac{4}{35}$