《2025年教材全解高中数学选择性必修第三册人教版A版》

例 8 一个袋中装有除颜色外其他都相同的 3 个白球和 4 个红球.
(1)从中任意摸出 1 个球，用 0 表示摸出白球，用 1 表示摸出红球，即$X = \begin{cases} 0, & 摸出白球, \\ 1, & 摸出红球. \end{cases}$求$X$的分布列.
(2)从中任意摸出两个球，用$Y = 0$表示“两个球全是白球”，用$Y = 1$表示“两个球不全是白球”，求$Y$的分布列.

答案：
(1)由题意知，袋中共有$3 + 4=7$个球，其中白球3个，红球4个。
$P(X = 0)=\frac{3}{7}$，$P(X = 1)=\frac{4}{7}$，
所以$X$的分布列为：
| $X$ | 0 | 1 |
| --- | --- | --- |
| $P$ | $\frac{3}{7}$ | $\frac{4}{7}$ |
(2)从7个球中任意摸出2个球，共有$C_{7}^{2}$种等可能结果。
“两个球全是白球”包含$C_{3}^{2}$种结果，所以$P(Y = 0)=\frac{C_{3}^{2}}{C_{7}^{2}}=\frac{3}{21}=\frac{1}{7}$，
$P(Y = 1)=1 - P(Y = 0)=1-\frac{1}{7}=\frac{6}{7}$，
所以$Y$的分布列为：
| $Y$ | 0 | 1 |
| --- | --- | --- |
| $P$ | $\frac{1}{7}$ | $\frac{6}{7}$ |

5-1 已知离散型随机变量$X$服从两点分布，且$P(X = 0) = 3 - 4P(X = 1) = a$，则$a =$(C)

A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{4}$

答案： 5-1 C 解析：因为$X$服从两点分布，所以$P(X = 0) + P(X = 1) = 1$.
因为$P(X = 0) = 3 - 4P(X = 1) = a$，所以$P(X = 0) = 3 - 4[1 - P(X = 0)]$，
所以$P(X = 0) = \frac{1}{3}$，所以$a = \frac{1}{3}$.

5-2 一个袋子中装有 7 个大小、形状均相同的小球，其中红球 3 个，编号为 1,2,3；黑球 3 个，编号为 1,2,3；白球 1 个，编号为 1.从袋子中随机取出 3 个球，记其中白球的个数为$X$，求$X$的分布列.

答案： 5-2 解：由题意知$X$的可能取值为0,1，故$X$服从两点分布，且$P(X = 0) = \frac{C_{6}^{3}}{C_{7}^{3}} = \frac{4}{7}$，
$P(X = 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$
故$X$的分布列为
$X$ 0 1
$P$ $\frac{4}{7}$ $\frac{3}{7}$

例 9 设随机变量$X$的分布列为

则$q$的值为.
解析 由$\frac{11}{16} + 1 - 3q + q^2 = 1$，解得$q = \frac{1}{4}$或$q = \frac{11}{4}$.⟹ 规范性.
由$\begin{cases}1 - 3q \geq 0,\\q^2 \geq 0,\end{cases}$得$q \leq \frac{1}{3}$，
所以$q = \frac{1}{4}$⟹ 非负性.
答案 $\frac{1}{4}$

答案： $\frac{1}{4}$

1-1 下列表格可以作为$X$的分布列的是(C)

答案： 1-1 C 解析：在A项中，各概率之和为$\frac{3}{2} ＞ 1$，故A错误；
在B项中，$P(X = 2) = -\frac{1}{2} ＜ 0$，故B错误；
在C项中，满足各概率的取值范围以及各概率之和等于1，故C正确；
在D项中，$\frac{1}{2} + 2a + a^{2} + 2 = (a + 1)^{2} + \frac{3}{2} ＞ 1$，故D错误.故选C.