《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

14. 已知点 $ A $，$ B $，$ C $，$ D $ 是反比例函数 $ y = \frac{8}{x} $（$ x ＞ 0 $）图象上的四个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形（如图）的边长为半径作四分之一圆周形成的两条弧，组成四个橄榄形（阴影部分），则这四个橄榄形的面积总和是________（用含 $ \pi $ 的代数式表示）.

答案： 14.5π−10

15. 如图，已知点 $ A(1, 2) $ 是反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 图象上的一点，连接 $ AO $ 并延长交双曲线的另一分支于点 $ B $，点 $ P $ 是 $ x $ 轴上一动点. 若 $ \triangle PAB $ 是等腰三角形，则点 $ P $ 的坐标是________.

答案： 15.(−3,0)或(5,0)或(3,0)或(−5,0)

16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $ ABCD $ 的边 $ AB : BC = 3 : 2 $，点 $ A(3, 0) $，$ B(0, 6) $ 分别在 $ x $ 轴、$ y $ 轴上，反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $（$ x ＞ 0 $）的图象经过点 $ D $，且与边 $ BC $ 交于点 $ E $，则点 $ E $ 的坐标为________.

答案： 16.(2,7)

17. （12分）在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $（$ x ＞ 0 $）的图象经过点 $ A(3, 4) $，过点 $ A $ 的直线 $ y = kx + b $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于 $ B $，$ C $ 两点.
（1）求反比例函数的表达式.
（2）若 $ \triangle AOB $ 的面积为 $ \triangle BOC $ 的面积的 $ 2 $ 倍，求此直线的函数表达式.

答案： 17.解:
(1)
∵反比例函数y=$\frac{m}{x}$(x＞0)的图象经过点A(3,4),
∴k = 3×4 = 12,
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{12}{x}$。
(2)
∵直线y = kx + b过点A,
∴3k + b = 4。
∵过点A的直线y = kx + b与x轴、y轴分别交于B,C两点,
∴B(−$\frac{b}{k}$,0),C(0,b)。
∵△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，
∴$\frac{1}{2}$×4×|−$\frac{b}{k}$| = 2×$\frac{1}{2}$×|−$\frac{b}{k}$|×|b|,
∴b = ±2。
当b = 2时,k = $\frac{2}{3}$;当b = −2时,k = 2。
∴直线的函数表达式为y = $\frac{2}{3}$x + 2或y = 2x - 2。