《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

1. 两个不透明的口袋中各装有 3 个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为 1，2，3。从这两个口袋中分别摸出 1 个小球，则下列事件为随机事件的是（ ）

A.两个小球的标号之和等于 1
B.两个小球的标号之和等于 6
C.两个小球的标号之和大于 1
D.两个小球的标号之和大于 6

答案： 1.B

2. 某班甲、乙、丙、丁四名同学在运动会上参加 4×100 m 接力比赛，先从四人中随机选择一人跑第一棒，再从剩下的三人中随机选择一人跑第二棒，其中选择甲跑第一棒，乙跑第二棒的概率是（ ）

A.$\frac{1}{24}$
B.$\frac{1}{12}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{3}$

答案： 2.B

3. 有 3 张看上去无差别的卡片，上面分别写着数字 2，3，4。从中随机抽取 1 张，记下数字后放回并混匀，再随机抽取 1 张，则两次取出的卡片上的数字之和是奇数的概率为______。

答案： 3.$\frac{4}{9}$

4. “头盔是生命之盔。”质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如下表：

请估计该工厂生产 10000 个头盔，合格的头盔约有______个。

答案： 4.9600

5. 有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字 2，3，4，第二组卡片上分别写有数字 3，4，5，现从每组卡片中各随机抽取一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为______。

答案： 5.$\frac{2}{3}$

6. 一个不透明的口袋中放有红球、白球和黑球若干个，每个球除了颜色以外没有任何区别。已知红球比黑球多 1 个，比白球少 3 个。小王通过大量重复试验（每次取 1 个球，放回搅匀后再取第 2 个……）发现，取出黑球的频率稳定在$\frac{1}{4}$左右。
（1）请你估计口袋中黑球的个数。
（2）若小王取出的第 1 个球是白球，将它放在桌上，闭上眼睛从口袋中余下的球中再任意取出 1 个球，取出红球的概率是多少？

答案： 6.解:
(1)设口袋中红球有x个，则黑球有(x - 1)个，白球有(x + 3)个，则共有球x+(x - 1)+(x + 3)=(3x + 2)个。根据题意，得$\frac{x - 1}{3x + 2}=\frac{1}{4}$，解得x = 6。经检验，x = 6是原方程的解且符合题意。
∴x - 1 = 5。
∴估计口袋中有5个黑球。
(2)
∵6 + 5 + 6 + 3 = 20(个)，故口袋中共有20个球。小王取出第1个球后不放回，还剩下19个球，且红球仍是6个，
∴小王从口袋中余下的球中再任意取出1个球是红球的概率是$\frac{6}{19}$。

7. 若 $ n $ 是一个两位正整数，且 $ n $ 的个位上的数字大于十位上的数字，则称 $ n $ 为“两位递增数”（如 13，35，56，等）。在某次数学趣味活动中，每位参加者都要从由数字 1，2，3，4，5，6 构成的所有“两位递增数”中随机抽取 1 个数，且只能抽取 1 次。
（1）写出所有个位上的数字是 5 的“两位递增数”。
（2）请用列表或画树状图的方法，求抽取的“两位递增数”的个位上的数字与十位上的数字之积能被 10 整除的概率。

答案：
7.解:
(1)根据题意，得所有个位上的数字是5的“两位递增数”是15,25,35,45。
(2)画树状图如图。
由树状图可知，抽取“两位递增数”共有15种等可能的结果，其中个位上的数字与十位上的数字之积能被10整除的结果有3种，
∴抽取的“两位递增数”的个位上的数字与十位上的数字之积能被10整除的概率P = $\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$。