《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

22. （8 分）在数学课上，王老师让同学们对两张全等的直角三角形纸片进行摆弄.如图 1，$Rt\triangle ABC \cong Rt\triangle DEF$，$\angle ACB = \angle DFE = 90^{\circ}$.
（1）如图 2，将图 1 的两个直角三角形的斜边 $AB$，$DE$ 重合，得到“筝形 $ACBF$”，连接 $CF$ 交 $AB$ 于点 $O$，若 $AF = 2BC$，则 $S_{\triangle CBO} : S_{\triangle AFO} =$______.
（2）如图 3，将图 1 的两个直角三角形的直角顶点 $C$，$F$ 重合，$AB // DE$，连接 $BE$，$AD$，求证：四边形 $ADEB$ 是矩形.
（3）如图 4，将图 1 的两个直角三角形的边 $AB$，$DE$ 放到同一直线上，点 $C$，$F$ 在 $AB$ 的同侧，连接 $CE$，$AF$，$CF$.若点 $E$ 是 $AB$ 的中点，请判断四边形 $CEAF$ 的形状，并说明理由.

答案： 22.
(1)1:4　
(2)证明:
∵AB//DE,AB=DE,
∴四边形ADEB是平行四边形.
∵Rt△ABC≌Rt△DEF,
∴∠ABC=∠DEC,BC=EC,
∴∠CBE=∠CEB,
∴∠ABC+∠CBE=∠CEB+∠DEC,即∠ABE=∠DEB.
∵AB//DE,
∴∠ABE+∠DEB=180°,
∴∠ABE=90°,
∴四边形ADEB是矩形.
(3)解:四边形CEAF是菱形.理由如下:
∵Rt△ABC≌Rt△DEF,
∴∠B=∠DEF,BC=EF,
∴BC//EF,
∴四边形BEFC是平行四边形,
∴CF=BE.
∵点E 是AB的中点,∠ACB=∠DFE=90°,
∴CE=BE=AE=$\frac{1}{2}$AB.
∵AB=DE,
∴AE=$\frac{1}{2}$DE,
∴AF=AE=$\frac{1}{2}$DE,
∴CF=CE=AE=AF,
∴四边形CEAF是菱形.

23. （8 分）某商场举办摸奖促销活动.在一个不透明的箱子里放了 3 个相同的小球，小球上分别写有“10 元”“20 元”“30 元”的字样，规定：顾客在本商场同一日内，每消费满 100 元，就可以在这个箱子里摸出一个小球（顾客每次摸出小球看过后仍然放回箱内并搅匀），商场根据顾客摸出小球上所标金额就送上一份相应的奖品.现有一名顾客在该商场一次性消费了 235 元，按规定，该顾客可以摸奖两次，求该顾客两次摸奖所获奖品的价格之和超过 40 元的概率.

答案： 23.$\frac{1}{3}$

24. （8 分）如图 1，四边形 $ABCD$ 是正方形，点 $E$ 是边 $BC$ 的中点，$\angle AEF = 90^{\circ}$，且 $EF$ 交正方形 $ABCD$ 的外角 $\angle DCG$ 的平分线 $CF$ 于点 $F$.
（1）如图 2，取 $AB$ 的中点 $H$，连接 $HE$，求证：$AE = EF$.
（2）如图 3，若点 $E$ 是 $BC$ 的延长线上（除点 $C$ 外）的任意一点，其他条件不变，结论“$AE = EF$”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程：如果不成立，请说明理由.

答案： 24.
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,∠AEF=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°,∠CEF+∠AEB=90°,
∴∠BAE=∠CEF.
∵E,H分别是BC,AB的中点，
∴AH=BH=BE=EC.
∵CF平分∠DCG,∠B=∠BCD=∠DCG=90°,
∴∠BHE=45°,∠FCG=45°,
∴∠AHE=∠ECF=135°,AH=EC.在△AHE和△ECF中，$\begin{cases} ∠HAE = ∠CEF, \\ AH = EC, \\ ∠AHE = ∠ECF, \end{cases}$
∴△AHE≌△ECF，
∴AE = EF。
(2)解:AE = EF仍然成立.理由如下:延长BA到点M，使AM = CE，连接ME。
∵∠AEF = 90°，
∴∠FEG + ∠AEB = 90°。
∵∠BAE + ∠AEB = 90°，
∴∠BAE = ∠FEG，
∴∠MAE = ∠CEF。
∵AB = BC，
∴AB + AM = BC + CE，即BM = BE。
∴∠M = 45°，
∴∠M = ∠FCE。在△AME与△ECF中，$\begin{cases} ∠MAE = ∠CEF, \\ AM = EC, \\ ∠M = ∠FCE, \end{cases}$
∴△AME≌△ECF，
∴AE = EF。