《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

6. 如图，已知在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC = 5 \, cm $，$ BC = 8 \, cm $。$ P $ 为一动点，沿着 $ C \to A \to B $ 的方向运动，到达点 $ B $ 时停止运动；$ Q $ 为 $ CB $ 上一动点，沿着 $ C \to B $ 的方向运动，到达点 $ B $ 时停止运动。若点 $ P $，$ Q $ 同时从点 $ C $ 出发，分别以 $ 2 \, cm/s $ 和 $ 1 \, cm/s $ 的速度运动，问：何时 $ PQ $ 截 $ \triangle ABC $ 两边所成的三角形与原三角形相似？是位似图形吗？

答案： 6.解：设运动时间为$t$ s.根据题意，分两种情况讨论：①当点$P$在$AC$上时，若$\triangle QPC \sim \triangle ABC$，则$\frac{PC}{BC}=\frac{QC}{AC}$，即$\frac{2t}{8}=\frac{t}{5}$，解得$t = 0$（不符合题意，舍去）；若$\triangle QPC \sim \triangle BAC$，则$\frac{PC}{AC}=\frac{CQ}{CB}$，即$\frac{2t}{5}=\frac{t}{8}$，解得$t = 0$（不符合题意，舍去）.②当点$P$在$AB$上时，根据题意，得$BP = 10 - 2t$，$BQ = 8 - t$.若$\triangle QPB \sim \triangle CAB$，则$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}$，即$\frac{10 - 2t}{5}=\frac{8 - t}{8}$，解得$t=\frac{40}{11}$.此时$PQ // AC$，$\triangle QPB$与$\triangle CAB$是位似图形；若$\triangle QPB \sim \triangle ACB$，则$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}$，即$\frac{10 - 2t}{8}=\frac{8 - t}{5}$，解得$t = - 7$（不符合题意，舍去）.综上所述，当点$P$，$Q$运动$\frac{40}{11}$ s时，$PQ$截$\triangle ABC$两边所成的三角形与原三角形相似，且是位似图形.

知识梳理
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘同一个数 $ k (k \neq 0) $，所对应的图形与原图形 ， 是坐标原点，它们的相似比为 。

答案： 位似 位似中心 $|k|$

1. 如图，在平面直角坐标系中，$ A $，$ B $，$ C $ 三点的坐标分别为 $ (-3, -1) $，$ (-3, -3) $，$ (6, 2) $，且 $ \triangle AOB \sim \triangle COD $，点 $ P (-3, m) $ 是线段 $ AB $ 上一点，直线 $ PO $ 交线段 $ CD $ 于点 $ Q $，则点 $ Q $ 的纵坐标为 （ ）

A.$ m $
B.$ 2m $
C.$ -m $
D.$ -2m $

答案： 1.D

2. 在平面直角坐标系中，已知 $ A (9, 3) $，$ B (2, 5) $，以原点 $ O $ 为位似中心，按位似比 $ 1 : 3 $ 把 $ \triangle OAB $ 缩小，则点 $ A $ 的对应点 $ A' $ 的坐标为 （ ）

A.$ (3, 1) $
B.$ (-2, -1) $
C.$ (3, 1) $ 或 $ (-3, -1) $
D.$ (2, 1) $ 或 $ (-2, -1) $

答案： 2.C