《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

1. 如图，已知 $ AB // CD // EF $，则下列结论中正确的是（ ）

A.$ \frac{AD}{DF} = \frac{BC}{CE} $
B.$ \frac{BC}{CE} = \frac{DF}{AD} $
C.$ \frac{CD}{EF} = \frac{BC}{BE} $
D.$ \frac{CD}{EF} = \frac{AD}{AF} $

答案： 1.A

2. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ D $，$ E $ 分别是 $ AB $，$ BC $ 上的点，且 $ DE // AC $，若 $ S_{\triangle BDE} : S_{\triangle CDE} = 1 : 4 $，则 $ S_{\triangle BDE} : S_{\triangle ACD} = $（ ）

A.$ 1 : 16 $
B.$ 1 : 18 $
C.$ 1 : 20 $
D.$ 1 : 24 $

答案： 2.C

3. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB \neq AC $，$ D $，$ E $ 分别为边 $ AB $，$ AC $ 上的点，且 $ AC = 3AD $，$ AB = 3AE $，点 $ F $ 为 $ BC $ 边上一点. 添加一个条件：____，使得 $ \triangle FDB $ 与 $ \triangle ADE $ 相似.

答案： 3.$\angle A = \angle BFD$（答案不唯一）

4. 如图，在 $ □ ABCD $ 中，对角线 $ AC $，$ BD $ 交于点 $ O $. $ M $ 为 $ AD $ 中点，连接 $ CM $ 交 $ BD $ 于点 $ N $，且 $ ON = 1 $.
(1) 求 $ BD $ 的长.
(2) 若 $ \triangle DCN $ 的面积为 $ 2 $，求四边形 $ ABNM $ 的面积.

答案： 4.解：
(1)$\because$四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\therefore AD // BC$，$AD = BC$，$OB = OD$，$\therefore \angle DMN = \angle BCN$，$\angle MDN = \angle NBC$，$\therefore \triangle MND \sim \triangle CNB$，$\therefore \frac{MD}{CB} = \frac{DN}{BN}$.$\because M$ 为 $AD$ 的中点，$\therefore MD = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC$，即 $\frac{MD}{CB} = \frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{DN}{BN} = \frac{1}{2}$，即 $BN = 2DN$，设 $OB = OD = x$，则有 $BD = 2x$，$BN = OB + ON = x + 1$，$DN = x - 1$，$\therefore x + 1 = 2(x - 1)$，解得 $x = 3$，$\therefore BD = 2x = 6$.
(2)$\because \triangle MND \sim \triangle CNB$，且相似比为 $1:2$，$\therefore MN:CN = DN:BN = 1:2$，$\therefore S_{\triangle MND} = \frac{1}{2}S_{\triangle DCN} = 1$，$S_{\triangle BCN} = 2S_{\triangle DCN} = 4$.
$\therefore S_{\triangle ABD} = S_{\triangle BCD} = S_{\triangle BCN} + S_{\triangle CND} = 4 + 2 = 6$，
$\therefore S_{四边形ABNM} = S_{\triangle ABD} - S_{\triangle MND} = 6 - 1 = 5$.